[论文解读] A phase-field approach for detecting cavities via a Kohn-Vogelius type functional

Andrea Aspri|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2022

Numerical methods in inverse problems参考文献 65被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的相场方法，通过Kohn-Vogelius型泛函并结合周长惩罚项，用于在线性弹性介质中重建空腔。通过将周长的Modica-Mortola松弛与小弹性张量的虚构材料方法相结合，该方法将形状优化问题转化为H¹(Ω)的凸子集上的光滑可微优化问题，从而通过一种迭代原始-对偶算法实现鲁棒且高效的数值重建，即使在噪声数据下也能收敛到精确的空腔形状。

ABSTRACT

We deal with the geometrical inverse problem of the shape reconstruction of cavities in a bounded linear isotropic medium by means of boundary data. The problem is addressed from the point of view of optimal control: the goal is to minimize in the class of Lipschitz domains a Kohn-Vogelius type functional with a perimeter regularization term which penalizes the perimeter of the cavity to be reconstructed. To solve numerically the optimization problem, we use a phase-field approach, approximating the perimeter functional with a Modica-Mortola relaxation and modeling the cavity as an inclusion with a very small elastic tensor. We provide a detailed analysis showing the robustness of the algorithm through some numerical experiments.

研究动机与目标

• 解决从牵引力和位移边界测量中识别线性弹性介质中空腔的不适定逆问题。
• 开发一种鲁棒的数值算法用于空腔重建，即使在弱稳定性估计下也能保证稳定性和收敛性。
• 将相场方法扩展至Kohn-Vogelius型泛函，该类泛函此前未在此背景下应用过。
• 通过相场松弛和周长正则化，提供一种数值稳定且可微的形状重建问题公式化。

提出的方法

• 将空腔检测的逆问题表述为Kohn-Vogelius泛函的约束优化问题，该泛函定义为两个边值问题解之间的L²能量差。
• 引入周长正则化项以稳定不适定问题，并惩罚复杂的空腔边界。
• 通过引入取值于[0,1]的标量相场变量v来应用相场方法，以表示空腔，其中C1 = δC0（δ > 0为小量），将空腔建模为低刚度夹杂物。
• 使用Modica-Mortola泛函来近似周长，其能量项为ε|∇v|² + (1/ε)v(1−v)，在空腔边界周围形成宽度为ε的扩散界面。
• 推导出结合Kohn-Vogelius能量与相场周长近似的松弛泛函Jδ,ε(v)，确保其在H¹(Ω)上具有Fréchet可微性。
• 基于松弛泛函的一阶最优性条件，实现一种基于迭代原始-对偶活动集法的数值重建。

实验结果

研究问题

• RQ1 相场方法能否成功适配至Kohn-Vogelius型泛函，以实现线性弹性中空腔的重建？
• RQ2 Modica-Mortola周长松弛与虚构材料建模的结合是否能产生稳定且收敛的形状重建数值格式？
• RQ3 与标准残差泛函相比，该方法在边界测量存在噪声时的表现如何？
• RQ4 相场松弛在多大程度上能保持真实空腔的几何特征，特别是对于非凸形状？

主要发现

• 结合周长正则化的Kohn-Vogelius泛函的相场松弛在H¹(Ω)上产生Fréchet可微泛函，从而支持高效的数值优化。
• 数值实验表明，当δ和ε足够小时，松弛泛函Jδ,ε的极小值能以高精度逼近原始泛函Jreg的极小值。
• 对于凸空腔（如圆形、椭圆、矩形），即使边界测量中存在高达6.5%的噪声，该方法仍能实现精确重建。
• 在5%噪声下，该方法成功重建了多个空腔（如两个圆形夹杂物），并在n = 35,318次迭代后实现收敛。
• 非凸区域的重建显示出由于Modica-Mortola周长近似导致的凸化现象，表明该方法在非凸几何中存在局限性。
• 与残差泛函（Jmisfitδ,ε）的对比显示，基于Kohn-Vogelius的方法在多夹杂物情况下结果略优，尽管边界处存在更多伪影。