[论文解读] A plug with infinite order and some exotic 4-manifolds

Motoo Tange|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文在四维拓扑中构造了一个无限阶的插件，证明沿此类插件进行扭转变换可生成无限多个不同的光滑结构。通过Fintushel-Stern纽结手术和广义塞 cork 扭转，作者展示了奇异对，包括极小的辛四-manifold，证明了通过无限阶插件作用存在无限多个非微分同胚的结构。

ABSTRACT

Every exotic pair in 4-dimension is obtained each other by twisting a {\it cork} or {\it plug} which are codimension 0 submanifolds embedded in the 4-manifolds. The twist was an involution on the boundary of the submanifold. We define cork (or plug) with order $p\in {\Bbb N}\cup \{\infty\}$ and show there exists a plug with infinite order. Furthermore we show twisting $(P,φ^2)$ gives to enlargements of $P$ compact exotic manifolds with boundary.

研究动机与目标

• 通过引入阶的概念（包括无限阶），扩展四维拓扑中塞 cork 和插件理论。
• 证明存在一个无限阶插件，能生成四-manifold 上无限多个非微分同胚的光滑结构。
• 表明阶为2的广义塞 cork 扭转可产生与原始结构同胚但为极小、辛、奇异的四-manifold。
• 确立无限阶插件扭转变换的平方为一个非收缩的塞 cork，且阶为无限。
• 通过卫星链和纽结手术显式构造奇异对，利用Seiberg-Witten不变量证明其非微分同胚。

提出的方法

• 引入插件阶 $ p \in \mathbb{N} \cup \{\infty\} $ 的新定义，推广基于对合的塞 cork 和插件构造。
• 构造一个单连通、紧致、Stein四-manifold $ P $，满足 $ b_2 = 2 $，嵌入一个具有三个消失循环的椭圆纤维化中，其中两个消失循环平行。
• 在 $ \partial P $ 上应用一个无限阶微分同胚 $ \varphi $，使得对所有 $ n \in \mathbb{N} $ 都有 $ \varphi^n \neq \text{id} $，并证明 $ \varphi $ 无法扩张为 $ P $ 上的自同胚。
• 通过剪切-粘贴操作 $ [X - P] \cup_\varphi Y $ 定义插件扭转变换，其中 $ \varphi $ 在 $ P $ 的边界上作用，且 $ Y $ 是与 $ P $ 边界相同的流形。
• 应用Fintushel-Stern纽结手术，将 $ (P, \varphi^n) $ 与纽结手术 $ X_{K^n} $ 关联，其中 $ K^n $ 是从单位纽结经 $ n $ 次纽结操作迭代得到的纽结。
• 利用Seiberg-Witten不变量区分光滑结构：对于 $ E(1)_{L_{2n}} $，其不变量为 $ \Delta_{L_{2n}}(t_1,t_2) = \sum_{k=1}^{2n} (t_1 t_2)^{2k-2n-1} $，可检测非平凡基本类，从而证明非微分同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个无限阶插件，能在四-manifold 上生成无限多个不同的光滑结构？
• RQ2 无限阶插件扭转变换的平方是否能产生一个非收缩的塞 cork，且阶为无限？
• RQ3 阶为2的广义塞 cork 扭转能否产生与原始结构同胚但为极小、辛、奇异的四-manifold？
• RQ4 通过在 $ P $ 上附加一个 $ -1 $- framing 的二维胞状体得到的流形 $ Y $，其与 $ Y_2 $（其广义扭转变换）的光滑结构是否可区分？
• RQ5 $ \{Y_{2n}\} $ 和 $ \{Z_{2n}\} $ 族是否对所有 $ n \geq 1 $ 相互非微分同胚？

主要发现

• 存在一个无限阶插件 $ (P, \varphi) $，其中 $ P $ 是一个单连通、紧致、Stein四-manifold，满足 $ b_2 = 2 $，嵌入一个具有三个消失循环的椭圆纤维化中，其中两个消失循环平行。
• 插件扭转变换 $ (P, \varphi^n) $ 对应于纽结手术 $ X_{K^n} $，其中 $ K^n $ 是从单位纽结经 $ n $ 次迭代纽结操作得到的纽结。
• 平方 $ (P, \varphi^2) $ 是一个非收缩的塞 cork，且阶为无限，可借助广义塞 cork 扭转构造奇异对。
• $ Y = \tilde{Y} \# \overline{\mathbb{C}P^2} $ 及其扭转变换 $ Y_2 $ 同胚但不同胚，且 $ Y_2 $ 为极小且辛。
• $ E(1)_{L_{2n}} $ 的Seiberg-Witten不变量为 $ \Delta_{L_{2n}}(t_1,t_2) = \sum_{k=1}^{2n} (t_1 t_2)^{2k-2n-1} $，可检测非平凡基本类，证明 $ Y $ 与 $ Y_{2n} $ 非微分同胚。
• 族 $ \{Y_{2n}\} $ 和 $ \{Z_{2n}\} $ 被猜想为无限多个相互奇异的流形，尽管对 $ n \geq 2 $ 的相互非微分同胚尚未证明。