[论文解读] A polyharmonic Maass form of depth 3/2 for SL_2(Z)

Scott Ahlgren, Nickolas Andersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文为 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 构造了一个权为 $1/2$、深度为 $3/2$ 的多调和Maass形式，提供了此前仅通过正则化或Poincaré级数已知的形式的直接实现。它引入了一种扩展的内积，以解释平方指标傅里叶模的难以处理的系数，将其与模形式的迹和广义Hurwitz类数联系起来。

ABSTRACT

Duke, Imamoglu, and Toth constructed a polyharmonic Maass form of level 4 whose Fourier coefficients encode real quadratic class numbers. A more general construction of such forms was subsequently given by Bruinier, Funke, and Imamoglu. Here we give a direct construction of such a form for the full modular group and study the properties of its coefficients. We give interpretations of the coefficients of the holomorphic parts of each of these polyharmonic Maass forms as inner products of certain weakly holomorphic modular forms and harmonic Maass forms. The coefficients of square index are particularly intractable; in order to address these, we develop various extensions of the usual normalized Peterson inner product using a strategy of Bringmann, Ehlen and Diamantis.

研究动机与目标

• 为全模群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 构造一个权为 $1/2$、深度为 $3/2$ 的多调和Maass形式，提供超越水平结构的此类形式的直接实现。
• 解决多调和Maass形式中平方指标傅里叶系数的不可处理性，这些系数源于Poincaré级数构造中的极点。
• 通过受Bringmann、Eh落和Diamantis启发的策略，扩展正则化内积，为弱全纯形式和调和Maass形式定义一个新的内积 $\langle \cdot, \cdot \rangle_1$。
• 将形式的解析部分的系数解释为涉及弱全纯模形式和调和Maass形式的内积。
• 建立平方指标项系数与模函数迹及广义Hurwitz类数 $h^*(d)$ 的精确公式。

提出的方法

• 通过从常数函数 $1$ 的正则化theta提升，在 $\Gamma_0(4)$ 上构造一个权为 $1/2$、深度为 $3/2$ 的多调和Maass形式 $\bm{Z}(\tau)$，随后扩展至 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$。
• 通过指数衰减 $e^{-wy}$ 的积分的解析延拓，引入一个新的内积 $\langle h_d, F \rangle_1$，其在 $w=0$ 处有效。
• 使用算子 $\xi_k = 2iy^k \overline{\partial / \partial \overline{\tau}}$ 定义多调和性，其中 $\xi_{1/2} \bm{Z} = -2 \widehat{\bm{Z}}_-$，并与已知的调和Maass形式联系起来。
• 使用通过调节器 $R(d)$ 和类数定义的广义Hurwitz函数 $h^*(d)$，统一表达所有 $d > 0$ 的傅里叶系数。
• 应用Bringmann、Eh落和Diamantis的策略，处理平方判别式情况下指数增长项的问题，从而实现内积的扩展。
• 推导出显式公式 $\sqrt{24} \langle h_d, F \rangle_1 = -\operatorname{Tr}_d(f) + \chi_{12}(\sqrt{d})\left(\operatorname{Tr}_1(f) - 12 \frac{h^*(d)}{\sqrt{d}} - i\right)$，解决了平方指标系数问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为全模群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 显式构造一个权为 $1/2$、深度为 $3/2$ 的多调和Maass形式？
• RQ2 此类形式中平方指标傅里叶系数的解释是什么，这些系数未被标准正则化内积捕捉？
• RQ3 正则化内积能否扩展以处理傅里叶系数指数增长的情况，例如当 $d$ 为完全平方数时？
• RQ4 该形式的解析部分系数如何与模函数的迹及广义Hurwitz类数相关？
• RQ5 平方指标项系数与 $\Gamma_0(6)$ 上的模函数 $f$ 之间的确切关系是什么？

主要发现

• 本文为 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 构造了一个权为 $1/2$、深度为 $3/2$ 的多调和Maass形式 $\bm{Z}(\tau)$，其傅里叶展开包含 $d > 0$ 时的 $h^*(d)/\sqrt{d}$，$d < 0$ 时的 $\beta_{1/2}(4\pi|d|y)q^d$，以及一个非解析项 $\alpha(4n^2y)q^{n^2}$。
• 平方指标项的系数通过扩展内积 $\langle h_d, F \rangle_1$ 解释，该内积在 $d$ 为平方数时仍存在且定义良好。
• 公式 $\sqrt{24} \langle h_d, F \rangle_1 = -\operatorname{Tr}_d(f) + \chi_{12}(\sqrt{d})\left(\operatorname{Tr}_1(f) - 12 \frac{h^*(d)}{\sqrt{d}} - i\right)$ 完整解释了平方指标系数。
• 正则化内积 $\langle h_d, F \rangle_{\operatorname{reg}}$ 仅在 $d$ 不为平方数时存在，此时 $\sqrt{24} \langle h_d, F \rangle_{\operatorname{reg}} = -\operatorname{Tr}_d(f)$。
• 扩展内积 $\langle h_d, F \rangle_1$ 通过将积分 $I(h_d, F; w)$ 解析延拓至 $w = 0$ 定义，解决了 $d$ 为平方数时的发散问题。
• 结果建立了平方指标傅里叶模系数与 $\Gamma_0(6)$ 上模函数 $f$ 的迹之间的精确联系，其中包含涉及 $h^*(d)/\sqrt{d}$ 和 $i$ 的修正项。