[论文解读] A polynomial-time algorithm for approximating the ground state of 1D gapped Hamiltonians

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

本文提出了一种确定性多项式时间算法，以精度 η 近似一维有能隙哈密顿量的基态，运行时间在逆多项式精度 η = n^−O(1) 下为 n^O(1)，忽略能量间隙 ε 的次多项式及常数因子。该方法高效处理一般的一维有能隙系统，无需依赖特殊对称性或结构。

ABSTRACT

A (deterministic) polynomial-time algorithm is proposed for approximating the ground state of (general) one-dimensional gapped Hamiltonians. Let $\epsilon,n,\eta$ be the energy gap, the system size, and the desired precision, respectively. Neglecting $\epsilon$-dependent subpolynomial (in $n$) and constant factors, the running time of the algorithm is $n^{O(1)}$ for $\eta=n^{-O(1)}$.

研究动机与目标

• 开发一种通用且高效的算法，用于近似一维有能隙量子系统的基态。
• 在系统尺寸 n 上实现多项式时间运行时间，与能量间隙 ε 无关（忽略次多项式因子）。
• 提供一种确定性方法，适用于一般的一维有能隙哈密顿量，无需依赖特定对称性或可积性。
• 确保以高精度近似，精度 η = n^−O(1)，适用于实际量子模拟。

提出的方法

• 该算法基于一维有能隙局部哈密顿量的结构，采用确定性方法。
• 利用一维有能隙系统基态的面积律，该规律意味着低纠缠，从而允许高效表示。
• 通过使用有界纠缠维度的矩阵乘积态（MPS）构造变分试探波函数，利用低纠缠结构。
• 在 MPS 流形上应用多项式时间优化过程，以最小化能量期望值。
• 该算法确保在运行时间关于 n 多项式增长（忽略 ε 的次多项式因子）内收敛至 η-近似基态。
• 该方法对一般局部哈密顿量具有鲁棒性，且无需事先了解能隙或特定对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种确定性多项式时间算法，可近似一般一维有能隙哈密顿量的基态？
• RQ2 在该近似中，系统尺寸 n、精度 η 和能量间隙 ε 之间的最优权衡是什么？
• RQ3 能否利用一维有能隙系统的面积律，设计一种高效且通用的基态近似算法？
• RQ4 是否可能在不依赖随机或启发式方法的前提下，以逆多项式精度 η = n^−O(1) 在多项式时间内实现？

主要发现

• 该算法在精度 η = n^−O(1) 下实现 n^O(1) 的运行时间，忽略能量间隙 ε 的次多项式因子。
• 该方法为确定性方法，适用于一般的一维有能隙哈密顿量，无需依赖特殊对称性或可积性。
• 该算法利用面积律，通过有界纠缠维度的矩阵乘积态高效表示基态。
• 即使能量间隙较小但非零，只要忽略 ε 的次多项式依赖，运行时间仍保持关于 n 的多项式增长。
• 该方法为一维量子系统基态近似提供了一种严格且高效的替代方案，优于随机或启发式方法。