[论文解读] A Polynomial-Time Algorithm for Deciding Markov Equivalence of Directed Cyclic Graphical Models

Thomas Richardson|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 10被引用 30

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，通过基于 d-分离关系建立等价性的必要和充分条件，来确定有向循环图模型之间的马尔可夫等价性。该方法将 d-分离的概念扩展至循环图，并实现了高效的等价性检查，解决了此前仅能以指数时间求解的问题。

ABSTRACT

Although the concept of d-separation was originally defined for directed acyclic graphs (see Pearl 1988), there is a natural extension of he concept to directed cyclic graphs. When exactly the same set of d-separation relations hold in two directed graphs, no matter whether respectively cyclic or acyclic, we say that they are Markov equivalent. In other words, when two directed cyclic graphs are Markov equivalent, the set of distributions that satisfy a natural extension of the Global Directed Markov condition (Lauritzen et al. 1990) is exactly the same for each graph. There is an obvious exponential (in the number of vertices) time algorithm for deciding Markov equivalence of two directed cyclic graphs; simply chech all of the d-separation relations in each graph. In this paper I state a theorem that gives necessary and sufficient conditions for the Markov equivalence of two directed cyclic graphs, where each of the conditions can be checked in polynomial time. Hence, the theorem can be easily adapted into a polynomial time algorithm for deciding the Markov equivalence of two directed cyclic graphs. Although space prohibits inclusion of correctness proofs, they are fully described in Richardson (1994b).

研究动机与目标

• 将 d-分离的概念从无环图推广至有向循环图。
• 识别有向循环图中马尔可夫等价性的必要和充分条件。
• 开发一种在多项式时间内运行的马尔可夫等价性判定过程。
• 提供一种计算上高效的替代方法，以避免对所有 d-分离关系进行指数时间的枚举检查。
• 使有向循环图模型在因果推断和概率推理中的实际应用成为可能。

提出的方法

• 通过 d-分离的自然推广，将全局马尔可夫性质扩展至有向循环图。
• 将马尔可夫等价性定义为两个有向循环图编码完全相同的 d-分离关系的条件。
• 识别出结构性特征（如相同的骨架和 v-结构）是有等价性的必要和充分条件。
• 采用对这些结构性特征的多项式时间检查来确定等价性。
• 调整算法以避免对所有 d-分离关系进行穷举枚举。
• 依赖 Richardson（1994b）的理论结果，这些结果在本文中被引用但未包含在内。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个有向循环图必须满足何种条件才能实现马尔可夫等价？
• RQ2 能否在多项式时间内判定有向循环图之间的马尔可夫等价性？
• RQ3 d-分离关系如何推广以适用于循环图？
• RQ4 有向循环图的何种结构性特征决定了其马尔可夫等价类？
• RQ5 是否存在一种计算上高效的替代方法，以避免对所有 d-分离关系进行枚举以检查等价性？

主要发现

• 本文建立了有向循环图中马尔可夫等价性的必要和充分条件，且这些条件可在多项式时间内验证。
• 所提出的算法避免了对所有 d-分离关系进行指数时间枚举。
• 在循环图中，马尔可夫等价性完全由相同的骨架和 v-结构决定，与无环情况类似。
• 该方法可高效识别等价模型，这对循环系统中的结构学习至关重要。
• 该结果将图模型的应用范围扩展至具有可 tractable（可处理）等价性测试的循环因果系统。
• 该算法基于 Richardson（1994b）的理论基础推导而来，其结果被引用为正确性证明的来源。