[论文解读] A Polynomial-time Algorithm to Achieve Extended Justified Representation

Haris Aziz, Shenwei Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Game Theory and Voting Systems参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出 MaxSwapPAV，这是首个在批准制多赢家投票中以多项式时间计算满足扩展无代表权保障（EJR）委员会的算法。通过迭代地将候选人交换进出现有委员会以提升比例批准投票（PAV）得分，该算法保证满足 EJR，同时运行时间为 O(n²mk⁴ln k)。

ABSTRACT

We consider a committee voting setting in which each voter approves of a subset of candidates and based on the approvals, a target number of candidates are to be selected. In particular we focus on the axiomatic property called extended justified representation (EJR). Although a committee satisfying EJR is guaranteed to exist, the computational complexity of finding such a committee has been an open problem and explicitly mentioned in multiple recent papers. We settle the complexity of finding a committee satisfying EJR by presenting a polynomial-time algorithm for the problem. Our algorithmic approach may be useful for constructing other voting rules in multi-winner voting.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：是否存在满足扩展无代表权保障（EJR）的委员会，且可在多项式时间内计算？
• 开发一种高效算法，保证满足 EJR，而无需依赖 NP-难优化或枚举方法。
• 提供一种构造性方法，利用 EJR 与通过候选人交换改进 PAV 得分之间的联系。
• 证明 EJR 在计算上是可行的，从而填补计算社会选择理论中的关键空白。
• 为现有基于 PAV 的规则提供一种实用且高效的替代方案，这些规则本身是 NP-难计算的。

提出的方法

• 提出 MaxSwapPAV，一种通过将一名现任候选人与一名外部候选人交换以提升 PAV 得分的多项式时间算法。
• 基于每次交换至少提升 PAV 得分 1/(2k³) 的下界，设计交换准则以确保进展。
• 利用一个关键引理：若一个委员会不满足 EJR，则存在一种有益的交换，可使 PAV 得分至少提升 1/(2k³)。
• 依赖于 PAV 交换自由性（PAV-swap-freeness）的概念：若不存在此类有益交换，则委员会满足 EJR。
• 在每一步中采用贪心策略选择能最大化 PAV 得分提升的交换。
• 将总交换次数限制在 O(nk³ log k) 以内，从而确保运行时间为 O(n²mk⁴ log k)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在多项式时间内计算出满足扩展无代表权保障（EJR）的委员会？
• RQ2 是否存在一种构造性且高效的算法，可在不依赖 NP-难优化的情况下实现 EJR？
• RQ3 EJR 与比例批准投票（PAV）规则之间存在何种计算关系？
• RQ4 基于交换的方法是否能在实现强代表权公理方面优于顺序构造方法？
• RQ5 PAV 得分提升的交换是否存在是否意味着 EJR 的失败，且能否在算法中加以利用？

主要发现

• MaxSwapPAV 是首个保证计算出满足扩展无代表权保障（EJR）的委员会的多项式时间算法。
• 该算法运行时间为 O(n²mk⁴ln k)，最多进行 O(nk³ log k) 次交换，每次交换至少提升 PAV 得分 1/(2k³)。
• 该算法证明了 EJR 在计算上是可行的，解决了多个近期论文中明确提出的开放问题。
• 满足 EJR 的委员会存在且可高效计算，而 PAV 却是 NP-难且即使在每位选民仅批准 2 个候选人时也属于 W[1]-难。
• 候选人交换方法为顺序构造提供了一种可行的替代方案，能从初始委员会实现更公平的代表。
• 该结果意味着 EJR 的计算效率与较弱的 PJR 性质相当，而后者仅在近期才被证明可多项式时间计算。