[论文解读] "A Posteriori" Limited High Order and Robust Residual Distribution Schemes for Transient Simulations of Fluid Flows in Gas Dynamics

Paola Bacigaluppi, Rémi Abgrall+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于瞬态气体动力学模拟的高阶、显式残差分布格式，结合了事后限制器。该方法通过MOOD方法检测有问题的单元，并在局部切换到更具耗散性的格式，在光滑区域保持高阶精度，同时在激波区域实现鲁棒且非振荡的行为，从而在1D和2D的结构化与非结构化网格上实现了最优阶精度和正性保持。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel approximation strategy for time-dependent hyperbolic systems of conservation laws for the Euler system of gas dynamics that aims to represent the dynamics of strong interacting discontinuities. The goal of our method is to allow an approximation with a high-order of accuracy in smooth regions of the flow, while ensuring robustness and a non-oscillatory behaviour in the regions of steep gradients, in particular across shocks. Following the Multidimensional Optimal Order Detection (MOOD) (Clain et al., Journal of Computational Physics 2011; Diot et al., Computer & Fluids 2012) approach, a candidate solution is computed at a next time level via a high-order accurate explicit scheme (Abgrall, Journal of Scientific Computing 2017; Abgrall et al., Computers & Mathematics with Applications 2018). A so-called detector determines if the candidate solution reveals any spurious oscillations or numerical issue and, if so, only the troubled cells are locally recomputed via a more dissipative scheme. This allows to design a family of "a posteriori" limited, robust and positivity preserving, as well as high accurate, non-oscillatory and effective scheme. Among the detecting criteria of the novel MOOD strategy, two different approaches from literature, based on the work of Clain et al. (Journal of Computational Physics 2011), Diot et al. (Computer & Fluids 2012) and of Vilar (Journal of Computational Physics 2019), are investigated. Numerical examples in 1D and 2D, on structured and unstructured meshes, are proposed to assess the effective order of accuracy for smooth flows, the non-oscillatory behaviour on shocked flows, the robustness and positivity preservation on more extreme flows.

研究动机与目标

• 开发一种高阶、显式残差分布格式，使其在光滑区域保持精度的同时，能够在强间断区域保持鲁棒性。
• 解决在非定常可压缩流中双曲守恒律的精度与鲁棒性之间的权衡问题。
• 在强激波和相互作用间断等极端流动条件下，确保正性保持和非振荡行为。
• 通过采用局部事后限制器，仅对需要重映射的单元进行处理，从而最小化计算成本。
• 在激波管、带台阶的Mach 3通道以及双Mach反射等基准问题上验证该方法。

提出的方法

• 基于连续伽辽金有限元公式，采用伯恩斯坦多项式作为形函数，构建高阶显式残差分布格式。
• 采用类似延迟校正的时间推进方法，避免求解大型线性系统，从而实现具有对角质量矩阵的显式时间积分。
• 采用多维最优阶检测（MOOD）策略，在时间推进后检测候选解中的数值问题。
• 利用文献中的两种检测标准识别存在虚假振荡或违反物理约束（如正性）的单元：一种基于[15,17]，另一种基于[35]。
• 仅对有问题的单元重新计算，使用更具耗散性的格式，从而在光滑区域保持高阶精度。
• 通过采用紧凑星形和对角质量矩阵，保持计算效率，支持并行计算和低内存占用。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶残差分布格式是否能在光滑流动中实现最优阶精度，同时在强激波区域保持非振荡性？
• RQ2 事后MOOD限制器在不降低光滑区域精度的前提下，检测并纠正数值不稳定性方面的有效性如何？
• RQ3 不同检测策略（如[15,17]与[35]）对解的质量和计算成本的影响如何？
• RQ4 该方法在双Mach反射等极端流动构型中，对正性和鲁棒性的保持程度如何？
• RQ5 通常有多少比例的单元被标记为有问题？该比例是否限制了整体计算开销？

主要发现

• 在光滑流动中，该方法实现了最优阶精度，如等熵涡基准测试所示，收敛率与理论预期一致。
• 事后MOOD限制器在双Mach反射和正向台阶问题中成功抑制了激波附近的振荡，生成了非振荡解。
• 基于[35]的检测策略相比基于[15,17]的策略，解的质量更高，尤其在解析复杂激波结构方面表现更优。
• 在所有测试案例中，仅有一小部分单元被标记为有问题，表明限制器带来的计算开销较低。
• 该格式在所有测试案例中均保持了密度和压力的正性，包括极端流动，确保了物理一致性。
• 该方法在结构化与非结构化网格上均表现鲁棒，在1D和2D模拟中性能一致。