[论文解读] A Priori Lipschitz Estimates for Solutions of Local and Nonlocal Hamilton-Jacobi Equations with Ornstein-Uhlenbeck Operator

Emmanuel Chasseigne, Olivier Ley+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文为 $\mathbb{R}^N$ 中具有 Ornstein-Uhlenbeck 扰动的局部与非局部 Hamilton-Jacobi 方程的无界粘性解建立了先验 Lipschitz 估计。该工作推广了以往结果，允许次线性 Hamiltonian、各向异性的扩散矩阵以及分数阶 Laplacian 类型的非局部积分微分算子，证明在数据满足适当增长条件时，解满足 $|u(x,t)-u(y,t)| \leq C(\phi_\mu(x)+\phi_\mu(y))|x-y|$，其中 $\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$。

ABSTRACT

We establish a priori Lipschitz estimates for unbounded solutions of second-order Hamilton-Jacobi equations in R^N in presence of an Ornstein-Uhlenbeck drift. We generalize the results obtained by Fujita, Ishii \\& Loreti (2006) in several directions. The first one is to consider more general operators. We first replace the Laplacian by a general diffusion matrix and then consider a nonlocal integro-differential operator of fractional Laplacian type. The second kind of extension is to deal with more general Hamiltonians which are merely sublinear. These results are obtained for both degenerate and nondegenerate equations.

研究动机与目标

• 将 $\mathbb{R}^N$ 中 Hamilton-Jacobi 方程的先验 Lipschitz 估计从有界解和 Lipschitz Hamiltonian 推广至更一般情形。
• 引入一般扩散矩阵（各向异性）和分数阶 Laplacian 类型的非局部积分微分算子。
• 处理满足 $|H(x,p)| \leq C_H(1+|p|)$ 的次线性 Hamiltonian $H$，从而支持最优控制与微分博弈的应用。
• 建立对 $\lambda > 0$ 和 $t > 0$ 一致的估计，以适用于遍历性与大时间行为分析。
• 刻画数据与解的最优增长速率 $\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$，改进了以往的 $e^{\mu|x|^2}$ 界。

提出的方法

• 利用 $\mathbb{R}^N$ 中具有满足 $\langle b(x)-b(y),x-y\rangle \geq \alpha|x-y|^2$ 的 Ornstein-Uhlenbeck 扰动的无界解的粘性解理论。
• 通过修改测试函数 $\varphi(x,y) = \phi(x) + \psi(|x-y|)$（其中 $\psi$ 为 $C^2$ 截断函数）对变量加倍技巧进行适应。
• 通过锥分解 $\mathcal{C}_{\eta,\gamma}(a)$ 估计非局部算子 $\mathcal{I}(x,u,D_x\varphi) - \mathcal{I}(y,u,-D_y\varphi)$，并仔细控制核 $l(a,s,z)$。
• 通过 Lévy 测度假设控制非局部项的增长：$\int_B |z|^2 \nu(dz) < \infty$ 且 $\int_{B^c} \phi_\mu(z) \nu(dz) < \infty$，确保在 $\mathcal{E}_\mu$ 中定义良好。
• 通过利用 $\nu$ 的结构（如温和的 $\beta$-稳定律）导出非局部差的下界，形式为负定项 $-\Lambda |a|^{-\tilde{\theta}}$。
• 结合局部与非局部估计，推导出最终的 Lipschitz 估计，且常数与 $\lambda$ 和 $t$ 无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有 Ornstein-Uhlenbeck 扰动和次线性 Hamiltonian 的 Hamilton-Jacobi 方程的无界解建立先验 Lipschitz 估计？
• RQ2 在存在非局部或各向异性扩散的情况下，确保 Lipschitz 正则性的最优增长条件 $\phi_\mu(x)$ 是什么？
• RQ3 估计结果如何依赖于非局部方程中 Lévy 测度 $\nu$ 的结构，特别是对于温和的 $\beta$-稳定律？
• RQ4 能否将结果从 Laplacian 扩展到一般扩散矩阵 $A(x) = \sigma(x)\sigma^T(x)$，其中 $\sigma \in W^{1,\infty}$？
• RQ5 对于此类估计，增长速率 $\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$ 是否最优，尤其是在 $H$ 依赖于 $x$ 或算子为非局部时？

主要发现

• 本文为具有 Ornstein-Uhlenbeck 扰动的局部与非局部 Hamilton-Jacobi 方程的解建立了形式为 $|u(x,t) - u(y,t)| \leq C(\phi_\mu(x) + \phi_\mu(y))|x-y|$ 的先验 Lipschitz 估计。
• 证明了增长函数 $\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$ 足够用于估计，改进了 Fujita 等人（2006）的经典 $e^{\mu|x|^2}$ 界。
• 结果适用于满足 $|H(x,p)| \leq C_H(1+|p|)$ 的次线性 Hamiltonian $H$，无需在 $x$ 或 $p$ 上要求 Lipschitz 连续性。
• 对于非局部情形，Lévy 测度 $\nu$ 必须满足 $\int_B |z|^2 \nu(dz) < \infty$ 且 $\int_{B^c} \phi_\mu(z) \nu(dz) < \infty$，该条件对 $\beta \in (0,2)$ 的温和 $\beta$-稳定律成立。
• 估计中的常数与 $\lambda > 0$ 和 $t > 0$ 无关，从而支持遍历问题与大时间行为的应用。
• 非局部差 $\mathcal{I}(x,u,D_x\varphi) - \mathcal{I}(y,u,-D_y\varphi)$ 被下界控制为负定项 $-\Lambda |a|^{-\tilde{\theta}}$，这对最终估计至关重要。