[论文解读] A proof of the Dalang-Morton-Willinger theorem

Dmitry B. Rokhlin|ArXiv.org|Apr 21, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新的、简化的达朗-莫顿-威林格定理的证明，建立了在离散时间随机证券市场中，无套利条件与存在具有有界密度的等价鞅测度之间的等价性。该方法利用 $L^1$-空间中的对偶性以及可测选择定理，避免了复杂的闭包论证或复杂可测集值映射，为在无套利条件下存在等价鞅测度提供了更直接的路径。

ABSTRACT

We give a new proof of the Dalang-Morton-Willinger theorem, relating the no-arbitrage condition in stochastic securities market models to the existence of an equivalent martingale measure with bounded density for a $d$-dimensional stochastic sequence $(S_n)_{n=0}^N$ of stock prices. Roughly speaking, the proof is reduced to the assertion that under the no-arbitrage condition for N=1 and $S\in L^1$ there exists a strictly positive linear fucntional on $L^1$, which is bounded from above on a special subset of the subspace $K\subset L^1$ of investor's gains.

研究动机与目标

• 为离散时间证券市场中的达朗-莫顿-威林格定理提供一种新的、简化的证明。
• 建立无套利条件与存在具有有界密度的等价鞅测度之间的等价性。
• 避免依赖于先前方法中使用的高级可测选择定理或收益锥闭包的证明。
• 证明：若在收益子集上存在有界且严格正的线性泛函，则存在具有有界密度的等价鞅测度。

提出的方法

• 利用 $L^1$-空间中的对偶性，聚焦于对偶空间 $L^\infty$ 和分离定理，构造一个严格正的泛函。
• 应用库拉托夫斯基–瑞尔-纳尔德泽夫斯基可测选择定理，处理 $\mathbb{R}^d$ 上关于 $\sigma$-代数的可测映射。
• 通过条件数学期望和正规条件分布分析价格增量 $\Delta S_n$ 的支集。
• 通过条件测度和密度变换的归纳法，将一般 $N$-期情形约化为 $N=1$ 的情形。
• 通过测度变换 $d\mathsf{P}'/d\mathsf{P} = c\exp(-\sum_n |S_n|)$ 确保可积性并保持密度的有界性。
• 通过组合连续时间步长的密度，递归构造等价鞅测度 $\mathsf{Q}$，确保其满足 $\mathsf{Q}$-鞅性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖收益锥闭包性的情况下，证明无套利与存在具有有界密度的等价鞅测度之间的等价性？
• RQ2 是否仅通过 $L^1$ 中的对偶性和可测选择定理，即可构造出等价鞅测度，而无需使用高级的可测集值映射？
• RQ3 如何将 $N$-期情形约化为 $N=1$ 的情形，同时保持密度的有界性？
• RQ4 在确保存在严格正密度方面，$\Delta S_n$ 支集的凸包的相对内部起什么作用？

主要发现

• 无套利条件蕴含在 $L^1$ 上存在一个严格正的线性泛函，其在负部范数不超过一的收益集合上有上界。
• 在无套利条件下，对每个 $n$，存在一个 $g_n \in L^\infty_{++}$，使得 $\mathsf{E}(g_n \Delta S_n | \mathscr{F}_{n-1}) = 0$ 几乎必然成立。
• 此类 $g_n$ 的存在性确保了存在一个具有有界密度 $d\mathsf{Q}/d\mathsf{P} \in L^\infty$ 的等价鞅测度 $\mathsf{Q}$。
• 该证明避免使用阿umann的可测选择定理和克雷普斯-扬的闭包论证，为结果提供了更直接的路径。
• 通过约化到 $N=1$ 情形并递归构造测度，建立了达朗-莫顿-威林格定理中条件 (i)、(ii) 和 (iii) 之间的等价性。
• 支集条件 (iii)，即原点位于 $\varkappa_{n-1}(\omega)$ 的凸包的相对内部，是存在具有有界密度的等价鞅测度的充要条件。