[论文解读] A proof of the Kawamata-Morrison Cone Conjecture for holomorphic symplectic varieties of K3^[n] or generalized Kummer deformation type

Eyal Markman, Kōta Yoshioka|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文在假设猜想1.1成立的前提下，证明了与$K3^{[n]}$型或广义Kummer型的复不可约全纯对称流形的变形等价类相关的Kawamata-Morrison锥猜想的一个版本。通过利用对偶极锥中原始极射类自交数的有界性，作者建立了自守群在正极锥上的作用的有理多面体基本域的存在性，从而在该假设下证实了该猜想。

ABSTRACT

We prove a version of the Kawamata-Morrison ample cone conjecture for projective irreducible holomorphic symplectic manifolds deformation equivalent to either the Hilbert scheme of n points on a K3 surface, or a generalized Kummer variety.

研究动机与目标

• 证明复不可约全纯对称流形的$K3^{[n]}$型或广义Kummer型的Kawamata-Morrison ample 锥猜想的一个版本。
• 建立自守群在正极锥$\operatorname{Nef}_X^+$上的作用的有理多面体基本域的存在性。
• 在猜想1.1成立的假设下，证明给定双有理类中不可约全纯对称流形的同构类集合是有限的。
• 通过利用模空间和除子型Zariski分解的已知结果，将锥猜想推广至非投影情形。

提出的方法

• 证明依赖于在$X$的双有理模型$Y$的$\operatorname{Nef}_Y^*$中，原始极射类自交数的有界性，该结论假设猜想1.1成立。
• 利用Beauville-Bogomolov-Fujiki配对，将对偶锥$\operatorname{Nef}_X^*$与Mori锥$\overline{\mathrm{NE}}_1(X)$进行识别。
• 作者分析了Néron-Severi格子$\Lambda = H^{1,1}(X,\mathbb{Z})$中的有理多面体锥，并研究其与正锥$\mathcal{C}^+$的交集。
• 通过基于$-(v^2)$有界性与正交性条件的有限性论证，证明了某些整类集合的有限性。
• 引理3.1–3.3利用格论分解与正性约束，证明了在$\mathcal{C}^+$中具有有界范数的射线正交的整类集合的有限性。
• 命题3.4将有限性推广至有理多面体锥，证明了在有界范数且与锥有非平凡交集的整类集合是有限的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在猜想1.1成立的假设下，自守群$\mathrm{Aut}(X)$在$\operatorname{Nef}_X^+$上的作用是否存在有理多面体基本域？
• RQ2 能否通过有界极射类建立$K3^{[n]}$型与广义Kummer型复全纯对称流形的Kawamata-Morrison锥猜想？
• RQ3 在相同假设下，固定双有理类中不可约全纯对称流形的同构类集合是否有限？
• RQ4 在这些形变类型中，可移动锥$\mathcal{MV}_X^+$与正锥$\mathcal{C}^+$如何相互作用？
• RQ5 除子型Zariski分解在这些情形下，如何关联$\operatorname{Nef}_X^e$与$\operatorname{Nef}_X^+$？

主要发现

• 在猜想1.1成立的假设下，建立了自守群$\mathrm{Aut}(X)$在$\operatorname{Nef}_X^+$上的有理多面体基本域的存在性。
• 对于$X$的双有理模型$Y$，$\operatorname{Nef}_Y^*$中整类、本原类、极射类的自交数有界，这是证明的关键输入。
• 证明了对于$\overline{\mathcal{C}^+}$中的有理多面体锥$\Pi$，集合$\{v \in \Lambda \mid (v^2) > -N, v^\perp \cap \Pi \cap \mathcal{C}^+ \neq \emptyset\}$的有限性。
• $K3^{[n]}$型与广义Kummer型流形中，有$\mathcal{MV}_X^+ = \mathcal{MV}_X$，确保可移动锥是有理多面体。
• $K3^{[n]}$型流形中，有$\operatorname{Nef}_X^e = \operatorname{Nef}_X^+$，因为各向同性极类是有效类。
• 由于极射类的有界性，双有理类中全纯对称流形的同构类集合的有限性得以推出。