[论文解读] Compactifications of moduli spaces inspired by mirror symmetry

David R. Morrison|ArXiv.org|Apr 23, 1993

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用 115

一句话总结

本文提出了一种受镜像对称启发的卡拉比-丘流形模空间的紧化方法，将吕詹加的半正则紧化推广至非算术商空间。引入了一种类似于萨塔克-贝利-博雷尔的最小部分紧化，猜想极大单幂边界点对应于具有特定基灵锥和算术数据的镜像卡拉比-丘流形，为模空间紧化中的镜像对称提供了几何框架。

ABSTRACT

We study moduli spaces of nonlinear sigma-models on Calabi-Yau manifolds, using the one-loop semiclassical approximation. The data being parameterized includes a choice of complex structure on the manifold, as well as some ``extra structure'' described by means of classes in H^2. The expectation that this moduli space is well-behaved in these ``extra structure'' directions leads us to formulate a simple and compelling conjecture about the action of the automorphism group on the Kähler cone. If true, it allows one to apply Looijenga's ``semi-toric'' technique to construct a partial compactification of the moduli space. We explore the implications which this construction has concerning the properties of the moduli space of complex structures on a ``mirror partner'' of the original Calabi-Yau manifold. We also discuss how a similarity which might have been noticed between certain work of Mumford and of Mori from the 1970's produces (with hindsight) evidence for mirror symmetry which was available in 1979. [The author is willing to mail hardcopy preprints upon request.]

研究动机与目标

• 通过镜像对称的洞察，发展卡拉比-丘流形模空间的几何紧化方法。
• 将吕詹加的半正则紧化框架从对称域的算术商推广至一般的模空间。
• 构建一个反映镜像对称下复结构模空间与基灵模空间对偶性的最小部分紧化。
• 猜想极大单幂边界点与具有特定自同构群和基灵锥的镜像卡拉比-丘流形之间的对应关系。
• 通过猜想的基灵锥性质，阐明无限离散结构（如基灵锥）在自同构作用下的作用。

提出的方法

• 将吕詹加的半正则紧化框架适配于镜像对称中出现的非算术模空间。
• 在模空间的全纯余切丛上引入平坦联络，以分析退化行为。
• 利用退化的霍奇结构变化分析模空间的边界点，特别是非横截类型。
• 应用镜像对称对偶性：一个卡拉比-丘流形的复结构模空间对应于其镜像伙伴的基灵模空间。
• 提出一种类似于萨塔克-贝利-博雷尔的最小紧化，其构建基于基灵锥的有理凸包的萨塔克-贝利-博雷尔分解。
• 利用猜想的基灵锥性质，将无限离散数据（如丰沛除子）与自同构作用下的有限数据联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以反映镜像对称对偶性的方式紧化卡拉比-丘流形的模空间？
• RQ2 卡拉比-丘流形模空间中极大单幂边界点的几何意义是什么？
• RQ3 能否为非算术模空间构造一种类似于萨塔克-贝利-博雷尔紧化的最小部分紧化？
• RQ4 镜像卡拉比-丘流形的基灵锥如何与模空间边界结构相关联？
• RQ5 自同构群和整同调在边界点紧化数据定义中起什么作用？

主要发现

• 猜想存在一种卡拉比-丘流形模空间的最小部分紧化，类似于萨塔克-贝利-博雷尔紧化，其具有特殊的极大单幂边界点。
• 每个极大单幂边界点对应一个镜像卡拉比-丘流形 $X_j$，其配备有基灵锥 ${\cal K}_j$ 和自同构群 $\mathop{\rm Aut}(X_j)$。
• 算术数据 $\Gamma_j$ 定义为 $H^2(X_j,\mathbb{Z})$ 模除挠子群后，再模 $\mathop{\rm Aut}(X_j)$，形成作用于模空间的离散群。
• 每个边界点处的局部有理多面体分解 ${\cal P}_j$ 被识别为锥 $({\cal K}_j)_+$（基灵锥闭包的有理凸包）的萨塔克-贝利-博雷尔分解。
• 猜想的基灵锥性质阐明了无限离散结构（如丰沛除子）在自同构作用下是有限的，该结论在非平凡情形下经 A. Grassi 验证。
• 在莫里1979年关于具有实乘法的阿贝尔曲面的例子与姆福德的图1之间建立了历史联系，表明若当时已认识对偶性，镜像对称本可早在1979年被预见。