[论文解读] A q-analogue of Catalan Hankel determinants

Masao Ishikawa, Hiroyuki Tagawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文通过 q-超几何序列 $\mu_n = \frac{(aq;q)_n}{(abq^2;q)_n}$，提出了 Catalan Hankel 行列式的 q-类比，利用格路计数、正交多项式与基本超几何级数，建立了 Hankel 行列式 $\det(\mu_{i+j})_{0\leq i,j\leq n-1}$ 的闭式公式。关键结果将经典的 Catalan 行列式恒等式推广至 q-设定，并以 q-Pochhammer 符号与组合权重显式表达乘积公式。

ABSTRACT

In this paper we shall survey the various methods of evaluating Hankel determinants and as an illustration we evaluate some Hankel determinants of a q-analogue of Catalan numbers. Here we consider $\frac{(aq;q)_{n}}{(abq^{2};q)_{n}}$ as a q-analogue of Catalan numbers $C_{n}=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}$, which is known as the moments of the little q-Jacobi polynomials. We also give several proofs of this q-analogue, in which we use lattice paths, the orthogonal polynomials, or the basic hypergeometric series. We also consider a q-analogue of Schröder Hankel determinants, and give a new proof of Moztkin Hankel determinants using an addition formula for ${}_2F_{1}$.

研究动机与目标

• 将经典的 Catalan Hankel 行列式恒等式推广至 q-类比，基于 q-超几何序列。
• 通过格路、正交多项式与基本超几何级数，提供该 q-类比行列式公式的多种证明。
• 将结果推广至平移的 Hankel 行列式 $\det(\mu_{i+j+t})$，其中 $t$ 为非负整数。
• 探讨 Catalan 数的 q-类比与正交多项式之间的联系，特别是小 q-Jacobi 多项式。
• 利用类似方法，建立 Schröder 与 Motzkin Hankel 行列式的 q-类比。

提出的方法

• 将 Catalan 数的 q-类比定义为 $\mu_n = \frac{(aq;q)_n}{(abq^2;q)_n}$，其作为小 q-Jacobi 多项式的矩。
• 利用 Lindström-Gessel-Viennot 引理，通过带权非相交格路计算 Hankel 行列式。
• 应用正交多项式与连分数理论，推导行列式恒等式。
• 运用基本超几何级数恒等式，特别是涉及 $_2\phi_1$ 与 $_2F_1$ 的恒等式，证明行列式求值。
• 利用 Desnanot-Jacobi 伴随矩阵定理，推导 q-类比 Hankel 行列式的递推关系。
• 通过 $_2F_1$ 的加法公式，建立 Motzkin Hankel 行列式的 q-类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 Catalan 数的经典 Hankel 行列式 $\det(C_{i+j})$，其 q-类比是什么？
• RQ2 对于 q-类比 $\mu_n = \frac{(aq;q)_n}{(abq^2;q)_n}$，行列式 $\det(\mu_{i+j})$ 的闭式求值方法为何？
• RQ3 能否统一组合（格路）、代数（正交多项式）与超几何（基本级数）方法，对同一行列式恒等式提供多种证明？
• RQ4 平移索引 $\mu_{i+j+t}$ 的 Hankel 行列式结构为何？其如何推广未平移的情形？
• RQ5 Schröder 与 Motzkin 数的 q-类比如何与 Hankel 行列式关联？其行列式恒等式能否通过类似方法推导？

主要发现

• Hankel 行列式 $\det(\mu_{i+j})_{0\leq i,j\leq n-1}$ 的值为 $a^{n(n-1)/2} q^{n(n-1)(2n-1)/6} \prod_{k=1}^n \frac{(q,aq,bq;q)_{n-k}}{(abq^{n-k+1};q)_{n-k}(abq^2;q)_{2(n-k)}}$。
• 对于平移索引，$\det(\mu_{i+j+t})_{0\leq i,j\leq n-1}$ 的表达式包含 $\left(\frac{(aq;q)_t}{(abq^2;q)_t}\right)^n$ 与额外的 q-Pochhammer 项。
• 利用 $_2F_1$ 的加法公式，证明了 Motzkin Hankel 行列式的 q-类比，得出 $\det(M_{i+j})$ 的值为 1。
• 大 Schröder Hankel 行列式 $\det(S_{i+j})$ 等于 $2^{n(n-1)/2}$，且 $\det(S_{i+j+1}) = 2^{n(n+1)/2}$，并推导出 $\det(S_{i+j+2})$ 的新公式。
• 提出 Delannoy 数 Hankel 行列式的猜想恒等式：$\det(D(i+j,i+j)) = 2^{\binom{n+1}{2} - 1}$，并给出更高平移情形的类似公式。
• 本文证明了行列式 $\det S^{(0)}_n(1)$ 满足递推关系 $\det S^{(0)}_n(1) = 2^{n(n+1)/2} - (2n+3)2^{n(n-1)/2} - 2^{(n-1)n/2}$，其结果与已知值一致。