[论文解读] A Quantitative Arrow Theorem

Elchanan Mossel|ArXiv.org|Mar 14, 2009

Game Theory and Voting Systems参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文建立了阿罗不可能性定理的定量版本，证明任何满足独立无关备选项（IIA）、成对偏好最小支持以及有界非独裁性的宪法，其非传递结果出现的概率至少为 δ > 0，其中 δ 仅依赖于 ε。该结果适用于任意数量的备选项 k ≥ 3，并推广至非均匀、对称的排名分布，利用反超收缩性与非线性不变性原理来界定悖论发生的概率。

ABSTRACT

Arrow's Impossibility Theorem states that any constitution which satisfies Independence of Irrelevant Alternatives (IIA) and Unanimity and is not a Dictator has to be non-transitive. In this paper we study quantitative versions of Arrow theorem. Consider $n$ voters who vote independently at random, each following the uniform distribution over the 6 rankings of 3 alternatives. Arrow's theorem implies that any constitution which satisfies IIA and Unanimity and is not a dictator has a probability of at least $6^{-n}$ for a non-transitive outcome. When $n$ is large, $6^{-n}$ is a very small probability, and the question arises if for large number of voters it is possible to avoid paradoxes with probability close to 1. Here we give a negative answer to this question by proving that for every $\eps > 0$, there exists a $δ= δ(\eps) > 0$, which depends on $\eps$ only, such that for all $n$, and all constitutions on 3 alternatives, if the constitution satisfies: The IIA condition. For every pair of alternatives $a,b$, the probability that the constitution ranks $a$ above $b$ is at least $\eps$. For every voter $i$, the probability that the social choice function agrees with a dictatorship on $i$ at most $1-\eps$. Then the probability of a non-transitive outcome is at least $δ$.

研究动机与目标

• 通过界定社会选择函数中非传递结果发生的概率，对阿罗不可能性定理进行定量强化。
• 将卡莱与凯勒先前的结果（仅适用于平衡宪法和 k=3 个备选项）推广至任意 k ≥ 3 及任意对称的排名分布。
• 刻画所有满足 IIA 且以高概率产生传递结果的社会选择函数，识别关键投票者结构上的约束。
• 将分析从均匀分布扩展至任意分布，其中每个排名的概率至少为 α > 0，建立稳健的定量边界。

提出的方法

• 利用反超收缩性证明：若传递性以高概率成立，则任意两个不同选民不可能以非可忽略的概率同时对多个成对偏好具有决定性影响。
• 应用非线性不变性原理，对个体选民影响力较小（总影响力较低）的情形，下界估计悖论发生的概率。
• 通过超立方体上的傅里叶分析对选民影响力进行分解，聚焦于低阶傅里叶系数，以控制传递性失效。
• 建立非传递结果发生概率与选民影响力结构之间的联系，使用条件期望与噪声稳定性边界。
• 证明对于任意 ε > 0，存在 δ(ε) > 0，使得若宪法不接近于独裁且满足最小成对支持，则悖论发生的概率至少为 δ。
• 通过在指数中调整常数（基于最小排名概率 α），将结果从均匀分布推广至对称分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在满足 IIA、最小成对支持和有界非独裁性的社会选择函数中，非传递结果发生的最小概率是多少？
• RQ2 定量阿罗定理能否从排名的均匀分布推广至任意具有有界最小排名概率的对称分布？
• RQ3 选民的影响力结构如何约束 IIA 条件下传递结果发生的可能性？
• RQ4 在满足 IIA 的宪法中，选民影响力与投票悖论发生概率之间的精确关系是什么？
• RQ5 此处所用的技术——尤其是反超收缩性与非线性不变性——能否应用于社会选择中的其他不可能性定理，如吉伯德-萨特尔思韦特定理？

主要发现

• 对于任意 ε > 0，存在 δ(ε) > 0，使得任何满足 IIA、成对偏好概率 ≥ ε 且非独裁概率 ≤ 1−ε 的宪法，其非传递结果发生的概率至少为 δ。
• 该边界 δ 与选民数量 n 无关，仅依赖于 ε，从而在悖论概率上建立了统一的下界。
• 该结果推广至 k ≥ 3 个备选项及每种排名概率至少为 α 的对称分布，其中 δ = exp(−C₁ / (α ε^{C₂(α)}))，且 C₂(α) = 3 + 1/(2α²)。
• 以高概率产生传递结果的宪法必须具有非常受限的结构：要么某一选民在备选项的较大子集上占主导地位，要么影响力高度集中。
• 证明表明：若两个选民以非可忽略的概率同时对多个成对比较具有决定性影响，则悖论不可避免，即使在弱假设下亦然。
• 非线性不变性与反超收缩性的应用，使得在低影响力情形下能够获得紧致的边界，此时单个选民对结果影响甚微。