[论文解读] A quantitative geometric rigidity result in SBD

Manuel Friedrich, Bernd Schmidt|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Numerical methods in engineering参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文在二维情形下为有界变形函数（SBD）建立了定量的几何刚性估计，将经典刚性结果推广至具有不连续性的脆性材料。证明了任意形变可分解为分片刚性运动与位移场之和，且对体积累和表面能贡献均具有控制，从而在几何线性设定下得到分片Korn-Poincaré不等式。

ABSTRACT

We present a quantitative geometric rigidity estimate for special functions of bounded deformation in a planar setting generalizing the result by Friesecke, James, Müller obtained in nonlinear elasticity theory and the piecewise rigidity result by Chambolle, Giacomini, Ponsiglione for brittle materials which do not store elastic energy. We show that for each deformation there is an associated triple consisting of a partition of the domain, a corresponding piecewise rigid motion being constant on each connected component of the cracked body and a displacement field measuring the distance of the deformation from the piecewise rigid motion. We also present a related estimate in the geometrically linear setting which can be interpreted as a `piecewise Korn-Poincaré inequality'.

研究动机与目标

• 将几何刚性估计从Sobolev空间推广至允许跳跃间断的有界变形（SBD）函数。
• 通过将形变表征为受控位移场的分片刚性运动，实现对脆性断裂的建模。
• 推导一个定量估计，将形变梯度与旋转的偏离程度与衡量距分片刚性运动距离的全局位移场联系起来。
• 建立刚性结果的几何线性版本，可解释为“分片Korn-Poincaré不等式”。
• 在裂纹存在的情况下，控制体积累和表面能的贡献，从而适用于变分断裂模型。

提出的方法

• 引入三重分解：将定义域划分为若干部分，每部分上定义常值分片刚性运动，以及度量与刚性偏离程度的位移场。
• 采用局部化与函数修正技术，在保持修正集上$H^1$-正则性的前提下，将函数延拓至裂纹区域。
• 在局部区域应用Korn-Poincaré不等式，以控制位移场的$L^2$-范数。
• 在略为扩大的定义域$\Omega_\rho$上构造修正形变$\hat{y}$，以处理跳跃集并确保正则性。
• 使用 dyadic 方体覆盖论证，控制非正则部分上$\nabla \hat{y} - R_j$的$L^p$-范数。
• 通过单位分解与分片刚性运动逼近，推导出在SBD设定下的统一估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为允许跳跃间断的SBD函数建立定量的几何刚性估计？
• RQ2 在存在裂纹的情况下，如何定量控制形变偏离分片刚性运动的程度？
• RQ3 在变分断裂模型中，体积累（通过$\nabla u$）与表面能（通过$J_u$）之间有何关系？
• RQ4 能否在几何线性设定下，为SBD函数推导出分片Korn-Poincaré不等式？
• RQ5 如何将刚性估计扩展至处理小测度集与不规则裂纹几何结构？

主要发现

• 对任意$u \in SBD(\Omega)$，存在$\Omega$的划分$P_j$，每块$P_j$上定义分片刚性运动$R_j x + c_j$，以及位移场$u - (R_j x + c_j)$，使得位移场的$L^2$-范数受应变的$L^2$-范数与跳跃集总变差的控制。
• 在每块$P_j$上，位移场的$L^2$-范数有界于$C(\rho) \varepsilon$，其中$\varepsilon$控制$\nabla u$与$SO(2)$的距离。
• 在修正域上，梯度差$\nabla \hat{y} - R_j$的$L^4$-范数有界于$C(\rho)\varepsilon$，确保逼近的正则性。
• 跳跃集$J_{\hat{y}}$的总周长满足$\mathcal{H}^1(J_{\hat{y}}) \leq \mathcal{H}^1(J_y) + C_1 \rho$，表明对表面能具有控制。
• 在几何线性设定下，位移场满足一个分片Korn-Poincaré不等式，其常数依赖于$\rho$与$\varepsilon$。
• 该结果在至多一个测度较小的集合上一致成立，误差项受$\varepsilon^{1-\eta}$与$\rho$控制。