[论文解读] A quantum characterization of NP

Hugue Blier, Alain Tapp|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用 9

一句话总结

该论文引入了复杂度类 PQMAₗₒg(2)，其定义为：由经典多项式时间验证者使用作用于对数个量子比特上的多项式大小量子线路以及两个非纠缠量子证明来验证的语言。论文证明了 PQMAₗₒg(2) = NP，通过使用具有完美完备性和声音性误差多项式接近 1 的对数大小非纠缠量子证明，为 NP 提供了一种类量子表征。

ABSTRACT

In this article we introduce a new complexity class called PQMA_log(2). Informally, this is the class of languages for which membership has a logarithmic-size quantum proof with perfect completeness and soundness which is polynomially close to 1 in a context where the verifier is provided a proof with two unentangled parts. We then show that PQMA_log(2) = NP. For this to be possible, it is important, when defining the class, not to give too much power to the verifier. This result, when compared to the fact that QMA_log = BQP, gives us new insight on the power of quantum information and the impact of entanglement.

研究动机与目标

• 定义一个新的量子复杂度类 PQMAₗₒg(2)，通过使用对数大小的非纠缠量子证明来捕捉 NP。
• 证明该类恰好表征 NP，为经典类 NP 提供一种量子形式化表述。
• 通过将验证者限制为经典多项式时间，阐明纠缠与验证者能力在量子交互证明系统中的作用。
• 将 PQMAₗₒg(2) 与 QMAₗₒg(2) 进行对比，后者包含于 BQP，凸显验证者约束对证明能力的影响。

提出的方法

• 将 PQMAₗₒg(2) 定义为：存在一个经典多项式时间验证者，可使用作用于 O(log n) 个量子比特上的多项式大小量子线路，以及两个非纠缠量子证明来验证的语言。
• 设计一个验证者，其生成一个量子线路，并对两个非纠缠量子证明执行三项测试，以检查图的 3-可着色性。
• 设计测试以通过投影算符和测量概率验证顶点颜色的正确编码以及相邻顶点间的一致性。
• 通过证明：当输入图存在有效 3-着色时，使用正确的量子证明态，验证者将以概率 1 接受，从而证明完备性。
• 通过证明：任何无效图在测试中失败的概率至少为 1/(24n⁶)，从而证明声音性，确保“是”实例与“否”实例之间接受概率存在非可忽略的差距。
• 构建一个经典多项式时间验证者，其能以精度 g/3 模拟量子接受概率，其中 g = 1/p(n) 为完备性与声音性之间的差距。

实验结果

研究问题

• RQ1 NP 是否可以使用对数大小非纠缠量子证明以及经典多项式时间验证的量子交互证明系统来表征？
• RQ2 将验证者限制为经典多项式时间，对量子证明系统的能力有何影响？
• RQ3 此类系统中是否可以实现完备性与声音性之间的常数差距，还是必须使用逆多项式差距？
• RQ4 与单个纠缠证明相比，使用两个非纠缠量子证明如何影响验证能力？

主要发现

• 类 PQMAₗₒg(2) 恰好等于 NP，为 NP 提供了使用对数大小非纠缠量子证明的量子表征。
• 验证者实现了完美完备性，即当输入属于该语言时，有效证明总是被接受。
• 声音性误差下界为 1/(24n⁶)，确保了“是”实例与“否”实例之间接受概率存在非可忽略的差距。
• 经典多项式时间验证者能够以足够精度模拟量子接受概率，从而将 PQMAₗₒg(2) 置于 NP 之内。
• 该结果表明，经典非确定性可以模拟作用于对数个量子比特上的量子线路，且使用两个非纠缠证明，即使验证者本身是经典计算。
• 该构造表明，在此设定下，证明之间的纠缠并非 NP-完全性所必需，因为两部分是相互非纠缠的。