[论文解读] Testing product states, quantum Merlin-Arthur games and tensor optimisation

Aram W. Harrow, Ashley Montanaro|Jan 4, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 73被引用 11

一句话总结

该论文提出了一种量子测试，通过使用输入态的两份副本，能够高效地区分产品态与远离所有产品态的态。当态与最近似产品态的重叠为 $1 - \epsilon$ 时，该测试以概率 $1 - \Theta(\epsilon)$ 通过，从而在量子梅林-亚瑟证明系统和张量优化方面实现关键进展。

ABSTRACT

We give a test that can distinguish efficiently between product states of n quantum systems and states which are far from product. If applied to a state psi whose maximum overlap with a product state is 1-epsilon, the test passes with probability 1-Theta(epsilon), regardless of n or the local dimensions of the individual systems. The test uses two copies of psi. We prove correctness of this test as a special case of a more general result regarding stability of maximum output purity of the depolarising channel. A key application of the test is to quantum Merlin-Arthur games with multiple Merlins, where we obtain several structural results that had been previously conjectured, including the fact that efficient soundness amplification is possible and that two Merlins can simulate many Merlins: QMA(k)=QMA(2) for k>=2. Building on a previous result of Aaronson et al, this implies that there is an efficient quantum algorithm to verify 3-SAT with constant soundness, given two unentangled proofs of O(sqrt(n) polylog(n)) qubits. We also show how QMA(2) with log-sized proofs is equivalent to a large number of problems, some related to quantum information (such as testing separability of mixed states) as well as problems without any apparent connection to quantum mechanics (such as computing injective tensor norms of 3-index tensors). As a consequence, we obtain many hardness-of-approximation results, as well as potential algorithmic applications of methods for approximating QMA(2) acceptance probabilities. Finally, our test can also be used to construct an efficient test for determining whether a unitary operator is a tensor product, which is a generalisation of classical linearity testing.

研究动机与目标

• 开发一种高效的量子测试，以确定给定量子态是否为产品态或远离所有产品态。
• 解决量子梅林-亚瑟（QMA(k)）证明系统中的开放问题，特别是当 $k \geq 2$ 时 QMA(k) 与 QMA(2) 的等价性。
• 建立量子复杂性理论与经典张量优化问题之间的联系，包括可注入张量范数和可分性检验。
• 为去极化通道输出纯度的最大值提供稳定性结果，该结果支撑了产品测试的正确性。
• 为使用大小为 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ qubits 的非纠缠证明验证 3-SAT 提供新的量子算法，且保真度恒定。

提出的方法

• 基于交换测试设计一种双副本量子测试，以估计输入态所有双局部子系统的平均纯度。
• 利用测试通过概率等于所有子系统中纯度 $\operatorname{tr}(\rho_S^2)$ 的平均值这一事实，其中 $\rho_S$ 是子系统 $S$ 上的约化态。
• 通过去极化通道输出纯度的稳定性界证明：若平均纯度较高，则全局态接近于产品态。
• 将测试应用于 QMA(2)，通过展示两个梅林可模拟任意数量的梅林，利用测试检测证明中纠缠的能力。
• 建立产品测试与三阶张量可注入张量范数之间的联系，表明具有对数大小证明的 QMA(2) 捕获了此类问题类。
• 利用测试构造一种对酉算符的量子线性测试，将经典线性测试推广至量子设置。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用两份副本，高效测试一个量子态是否为产品态或远离所有产品态？
• RQ2 所有双局部划分上的平均纠缠与全局态接近产品态的程度之间有何关系？
• RQ3 产品测试能否用于证明对所有 $k \geq 2$ 都有 QMA(k) = QMA(2)？
• RQ4 产品测试与经典问题（如计算三阶张量的可注入张量范数）有何关联？
• RQ5 该测试能否推广以验证酉算符是否为局部酉算符的张量积？

主要发现

• 当输入态与最近似产品态的重叠为 $1 - \epsilon$ 时，产品测试以概率 $1 - \Theta(\epsilon)$ 通过，且该结果与 $n$ 或局部维数无关。
• 该测试证明了对所有 $k \geq 2$ 都有 $\mathsf{QMA}(k) = \mathsf{QMA}(2)$，解决了量子复杂性理论中长期存在的一个猜想。
• 存在一种高效的量子算法，可使用两份大小为 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ qubits 的非纠缠证明，以恒定保真度验证 3-SAT。
• 具有对数大小证明的 QMA(2) 等价于计算三阶张量可注入张量范数的问题，暗示了近似困难性结果。
• 该测试提供了一种新方法，用于验证酉算符是否为张量积形式，将经典线性测试推广至量子设置。
• 主要结果可被解释为 Gowers 均匀性范数逆定理的量子类比，其中与产品态的最大重叠可通过所有产品态上平均平方重叠良好近似。