[论文解读] A Quantum Circuit to Construct All Maximal Cliques Using Grover Search Algorithm

C. R. Wie|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种量子线路，利用Grover搜索算法识别n个节点网络中的所有最大团。通过将邻接矩阵编码为量子预言机，算法放大表示最大团的叠加态，相较于经典穷举搜索方法实现了二次加速。

ABSTRACT

A quantum circuit to construct all maximal cliques using Grover search algorithm is presented. This oracle circuit takes as input an n-qubit state |x> and the adjacency matrix data A of an n-node network, and outputs the state (-1)^f(x) |x> where f(x)=1 if |x> is a maximal clique, and f(x)=0, otherwise. The oracle workspace requires 2n^2 qubits. Each oracle call makes about 10n^2 calls to the Toffoli gates. The overall Grover search algorithm takes as input a uniform superposition n-qubit state and the adjacency matrix data, and outputs a uniform superposition of all maximal clique states.

研究动机与目标

• 开发一种利用量子并行性和振幅放大技术高效查找图中所有最大团的量子算法。
• 通过利用量子优势，解决经典计算中最大团枚举的计算不可解性问题。
• 设计一种专用预言机线路，利用邻接矩阵作为输入，将最大团态与其他n量子比特态区分开来。
• 通过迭代Grover迭代，实现所有最大团态的均匀叠加。

提出的方法

• 该算法初始化所有表示潜在团的n量子比特计算基态的均匀叠加。
• 构建一个自定义预言机函数f(x)，使得当| x⟩态对应于最大团时f(x) = 1，否则f(x) = 0。
• 该预言机利用邻接矩阵A验证子集| x⟩中的所有节点是否相互连接，且无法再添加其他节点。
• 预言机输出以相位翻转形式编码：(−1)^f(x) |x⟩，这对Grover振幅放大过程至关重要。
• 重复应用Grover迭代，以放大叠加态中所有最大团态的振幅。
• 该线路需要2n²个量子比特用于工作空间，且每次预言机调用约需10n²个Toffoli门，这是由于验证团最大性所导致的复杂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Grover搜索算法能否被调整以使用量子预言机枚举图中的所有最大团？
• RQ2 构建一种识别最大团的量子线路，其资源成本（尤其是量子比特和Toffoli门）是多少？
• RQ3 如何将邻接矩阵编码进量子预言机，以验证候选团的最大性？
• RQ4 何种量子线路结构能够实现所有最大团态的均匀叠加？

主要发现

• 所提出的量子线路成功利用Grover算法和预言机相位标记，构建了所有最大团态的均匀叠加。
• 预言机需要2n²个量子比特来存储邻接矩阵并执行团验证操作。
• 每次预言机调用约涉及10n²个Toffoli门，反映出验证相互连通性和最大性的复杂性。
• 该算法在最大团枚举方面相较于经典穷举搜索实现了二次加速，尽管实际深度取决于最大团的数量。
• 该方法在n个节点的图上经过形式化验证，证明其正确性，预言机能根据邻接矩阵输入正确识别最大团。
• 该线路设计在原则上具有可扩展性，但实际实现受限于当前量子硬件的约束。