[论文解读] A Quantum Observable for the Graph Isomorphism Problem

Mark Ettinger, Peter Høyer|ArXiv.org|Jan 13, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 48

一句话总结

该论文提出了一种在希尔伯特空间 ℂ[(Sₙ ≀ S₂)ᵐ] 中的量子可观测量，用于区分同构与非同构图：若两图同构，则该可观测量确定返回‘是’；若不同构，则返回‘否’的概率至少为 1 − n!/2ᵐ。该可观测量基于陪集态的叠加，并利用了半直积群中的对合置换结构，尽管其高效量子实现尚未得到证明。

ABSTRACT

Suppose we are given two graphs on $n$ vertices. We define an observable in the Hilbert space $\Co[(S_n \wr S_2)^m]$ which returns the answer ``yes'' with certainty if the graphs are isomorphic and ``no'' with probability at least $1-n!/2^m$ if the graphs are not isomorphic. We do not know if this observable is efficiently implementable.

研究动机与目标

• 开发一种利用群论结构的量子可观测量，以判断图同构问题。
• 探索量子力学是否可通过隐子群方法解决图同构问题。
• 在希尔伯特空间中定义一个可观测量，其测量结果可高置信度揭示图的同构状态。
• 检验此类可观测量在量子计算机上高效实现的可行性。
• 通过共享的群结构，将图同构问题与码等价问题联系起来。

提出的方法

• 可观测量定义在希尔伯特空间 ℂ[(Sₙ ≀ S₂)ᵐ] 上，其中 m 是控制精度的参数。
• 它使用投影算符 P₀ 和 P₁ 分别投影到子空间 ℋ₀ 和 ℋ₁ 上，其中 ℋ₁ 由与对合置换 k ∈ G 相关的 k-向量张成。
• k-向量是群元素及其在对合置换 k 作用下的像的叠加态。
• 可观测量 L = λ₀P₀ + λ₁P₁ 用于测量态是否位于 ℋ₁（表示同构）或其正交补空间中。
• 输入态采用图不交并的自同构群 H 的陪集态 |cH⟩。
• 该方法依赖于以下事实：若图同构，则所有此类陪集态完全位于 ℋ₁ 中；若不同构，则其与 ℋ₁ 的重叠度被 n!/2ᵐ 所限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个量子可观测量，对同构图确定返回‘是’，对非同构图以高概率返回‘是’？
• RQ2 所提出的可观测量是否能通过量子线路实现？
• RQ3 半直积群 Sₙ ≀ S₂ 的结构如何与图不交并的自同构群相关联？
• RQ4 在此量子框架下，图同构问题与码等价问题之间存在何种关系？
• RQ5 能否利用 Sₙ ≀ S₂ 的隐子群结构，设计出解决图同构问题的多项式时间量子算法？

主要发现

• 若两图同构，则可观测量以确定性返回‘是’，因为输入态完全位于子空间 ℋ₁ 内。
• 若图不同构，则测量到‘是’的概率至多为 n!/2ᵐ，因此测量到‘否’的概率至少为 1 − n!/2ᵐ。
• 希尔伯特空间 ℂ[(Sₙ ≀ S₂)ᵐ] 的维数随 2ᵐ(n!)²ᵐ 增长，当 m 为 n 的对数时，其在 n 上为多项式增长，但在 m 上呈指数增长。
• 尽管该可观测量具有有利的测量特性，但其高效实现尚未被证明。
• 该方法可推广至码等价问题，如 Manny Knill 所示，原因在于共享的群论结构。
• 可改用 Sₙ ≀ S₂ 中由对合置换生成的子群 G′（指数为 2）代替整个群，从而降低希尔伯特空间的维数。