[论文解读] A question of Doctor Malte Wandel on automorphisms of the punctural Hilbert schemes of K3 surfaces

Keiji Oguiso|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过构造具有有限自同构群 Aut(S) 却在长度为二的点态 Hilbert 模式 S^{[2]} 上具有无限自同构群 Aut(S^{[2]}) 的 K3 曲面 S，正面回答了 Malte Wandel 提出的问题。该构造依赖于 Néron-Severi 拓扑同构于判别式为 17 的偶性双曲格 Λ 的 K3 曲面，这些曲面可嵌入 P^3 两次，从而在 S^{[2]} 上诱导出两个不同的 Beauville 对合。关键结果是：S^{[2]} 不是 Mori dream 空间，而 Hilbert-Chow 映射 μ:S^{[2]}→S^{(2)} 的目标空间 S^{(2)} 是 Mori dream 空间。

ABSTRACT

We present a sufficient condition for the punctural Hilbert scheme of length two of a K3 surface with finite automorphism group to have automorphism group of infinite order in geometric terms (Theorem 2.1). We then give concrete examples (Theorem 1.2). We also discuss about Mori dream space (MDS) structures under an extermal crepant resolution (Theorems 1.2, 5.2, 4.1) from the viewpoint of automorphisms. These affirmatively answer a question of Doctor Malte Wandel.

研究动机与目标

• 解决 Malte Wandel 提出的问题：当 K3 曲面 S 本身具有有限自同构群时，其长度为二的点态 Hilbert 模式 S^{[2]} 是否可能具有无限自同构群。
• 建立一个几何准则（定理 2.1），用于判断当 S 存在多个到射影空间的嵌入时，Aut(S^{[2]}) 是否为无限群。
• 研究在极小 Crepant 分辨下的 Mori dream 空间（MDS）性质，特别关注 Hilbert-Chow 映射 μ:S^{[2]}→S^{(2)} 的情形。
• 证明尽管分辨是 Crepant 且极小的，S^{[2]} 不是 Mori dream 空间，而 S^{(2)} 是。
• 提供明确的例子，展示具有 NS(S) ≅ Λ 的 K3 曲面 S，其 Aut(S) 有限但 Aut(S^{[2]}) 无限，从而证实此类例子的存在。

提出的方法

• 构造 Néron-Severi 拓扑同构于判别式为 17 的偶性双曲格 Λ 的 K3 曲面 S，从而确保 Picard 数 ρ(S) = 2。
• 利用此类 K3 曲面至少存在两种不同的嵌入到 P^3 中为光滑二次曲面（无直线）的事实，从而产生两个不同的线性系统。
• 利用由这些嵌入诱导的 S^{[2]} 上的 Beauville 对合作为工具，当嵌入非同构时，这些对合作为 Aut(S^{[2]}) 的无限子群。
• 应用 Kleiman 准则及 nef 锥的性质，证明若 Aut(S^{[2]}) 为无限群，则 nef 锥不能是有限有理多面体锥。
• 利用 Hilbert-Chow 映射 μ:S^{[2]}→S^{(2)} 是极小 Crepant 分辨的事实，并通过对称群 Σ_n 在 S^n 上的作用分析 MDS 性质。
• 应用 Okawa 等人关于商空间 MDS 性质的结果：若 S^n 是 MDS（在 Aut(S_k) 有限时成立），则 S^{(n)} = S^n / Σ_n 也是 MDS。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 K3 曲面 S 本身具有有限自同构群时，其长度为二的点态 Hilbert 模式 S^{[2]} 是否可能具有无限自同构群？
• RQ2 何种几何条件可确保 K3 曲面 S 的 Aut(S^{[2]}) 为无限群？
• RQ3 尽管 Hilbert-Chow 映射 μ:S^{[2]}→S^{(2)} 是极小 Crepant 分辨，其是否保持 Mori dream 空间（MDS）性质？
• RQ4 是否存在 K3 曲面 S 满足 ρ(S) = 2 且 |Aut(S)| < ∞，但 |Aut(S^{[2]})| = ∞？
• RQ5 当对称积 S^{(n)} 是 Mori dream 空间时，希尔伯特模式 S^{[n]} 在何种条件下也是 Mori dream 空间？

主要发现

• 对于满足 NS(S) ≅ Λ 的 K3 曲面 S，其自同构群 Aut(S) 有限，但 Aut(S^{[2]}) 无限，从而肯定了 Wandel 的问题。
• S 到 P^3 的两个非同构嵌入在 S^{[2]} 上诱导出两个不同的 Beauville 对合，从而生成 Aut(S^{[2]}) 的无限子群。
• Hilbert-Chow 映射 μ:S^{[2]}→S^{(2)} 是极小 Crepant 分辨，但 S^{[2]} 不是 Mori dream 空间，而 S^{(2)} 是。
• S^{[2]} 的 nef 锥不是有限有理多面体锥，这意味着除非锥结构是非多面体的，否则 Aut(S^{[2]}) 不可能是无限群。
• 对称积 S^{(2)} 是 Mori dream 空间，因为 S^2 是 MDS，且在给定条件下，Σ_2 作用下的商空间保持 MDS 性质。
• 该构造表明，当 Aut(S) 有限时，使 Aut(S^{[2]}) 无限的最小 Picard 数为 ρ(S) = 2。