[论文解读] A reformulation of the Siegel series and intersection numbers

Sungmun Cho, Takuya Yamauchi|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于格罗斯-基廷不变量的归纳公式，对西格尔级数进行了概念性重述，建立了西格尔级数与正交志村簇特殊纤维上局部交点数的深层结构等价性。关键结果是建立了一个新恒等式，将特征为 $p > 2$ 的 $\mathbb{F}_p$ 上模形式对应物的交点数与四度权为 2 的西格尔-埃斯泰因级数的傅里叶系数联系起来，且该恒等式与 $p$ 无关，通过西格尔级数明确关联到局部交点数。

ABSTRACT

In this paper, we will explain a conceptual reformulation and inductive formula of the Siegel series. Using this, we will explain that both sides of the local intersection multiplicities of [GK93] and the Siegel series have the same inherent structures, beyond matching values. As an application, we will prove a new identity between the intersection number of two modular correspondences over Fp and the sum of the Fourier coefficients of the Siegel-Eisenstein series for Sp_4 of weight 2, which is independent of p (> 2). In addition, we will explain a description of the local intersection multiplicities of the special cycles over F_p on the supersingular locus of the `special fiber' of the Shimura varieties for GSpin(n; 2), n<=3 in terms of the Siegel series directly.

研究动机与目标

• 基于格罗斯-基廷不变量，提供西格尔级数的概念性重述。
• 在数值匹配之外，建立西格尔级数与局部交点数之间的结构等价性。
• 证明 $\mathbb{F}_p$ 上模形式对应物的交点数与四度权为 2 的西格尔-埃斯泰因级数之间的新恒等式。
• 直接通过西格尔级数描述 $GSpin(n,2)$-志村簇特殊纤维上 $n \leq 3$ 的局部交点数。

提出的方法

• 基于非分裂二次格的格罗斯-基廷不变量，推导出西格尔级数的归纳公式。
• 利用格罗斯-基廷不变量重述局部密度和本原局部密度，使其与西格尔级数的结构对齐。
• 将西格尔级数的归纳结构与 [GK93] 中局部交点数的归纳公式进行比较，发现其具有相同的递归模式。
• 利用库达拉纲领及 [KRY06] 的结果，通过格不变量将特殊纤维上的局部交点数与西格尔级数联系起来。
• 将重述后的西格尔级数应用于 $\mathbb{F}_p$ 上的交点数计算，通过约化到平凡与超奇异点集实现。
• 利用拟典范提升比较 $\mathbb{C}$ 与 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的交点数，从而构建出与 $p$ 无关的恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 西格尔级数与局部交点数是否在数值巧合之外存在潜在的结构同构？
• RQ2 能否将 $\mathbb{F}_p$ 上模形式对应物的交点数表示为权为 2、度为 4 的西格尔-埃斯泰因级数傅里叶系数的 $p$-无关函数？
• RQ3 如何通过西格尔级数直接描述 $GSpin(n,2)$-志村簇特殊纤维上 $n \leq 3$ 的局部交点数？
• RQ4 是否存在一种统一的西格尔级数重述方式，能反映格罗斯-基廷不变量的归纳结构？
• RQ5 在库达拉纲领的背景下，西格尔-埃斯泰因级数导数的傅里叶系数与算术交点数之间的确切关系是什么？

主要发现

• 本文证明了 $\mathbb{F}_p$ 上两个模形式对应物的交点数等于权为 2、度为 4 的西格尔-埃斯泰因级数傅里叶系数之和，且该结果对所有 $p > 2$ 成立。
• 局部交点数 $e(\mathcal{Z}(T)_{\overline{\mathbb{F}}_p}, x)$ 由 $-\frac{1}{p-1} \cdot \mathcal{F}'_M(\frac{1}{p})$ 给出，其中 $\mathcal{F}'_M$ 是与秩为 2 的非分裂格 $M$ 相关的西格尔级数的导数。
• 当 $n=3$ 时，交点数对应于 $e(0,a_1,a_2) = \alpha_p(0,a_1,a_2)$，与 [GK93] 中的局部交点数一致。
• 当 $n=1$ 和 $n=2$ 时，分别证明了交点数 $e(a_0,a_1)$ 和 $e(a_0)$ 等于 $\alpha_p(0,a_0,a_1)$ 和 $\alpha_p(0,0,a_0)$，验证了其与归纳结构的一致性。
• 本文确立了环 $\mathbb{F}_p[x,y]/(\psi_{m_1}, \psi_{m_2})$ 的维数与其复数对应物一致，验证了交点数计算的 $p$-无关性。
• 附录 A 中的交点数表格表明，当 $2 \leq m_1 \leq m_2 \leq 9$，$m_1 m_2$ 不是完全平方数，且 $p < 50$ 时，有 $\dim_{\mathbb{F}_p} \mathbb{F}_p[x,y]/(\psi_{m_1}, \psi_{m_2}) = \dim_{\mathbb{C}} \mathbb{C}[x,y]/(\psi_{m_1}, \psi_{m_2})$，支持了主恒等式。