[论文解读] A regularity method for lower bounds on the Lyapunov exponent for stochastic differential equations

Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 102被引用 22

一句话总结

本文提出了一种基于正则性的新方法，用于建立弱耗散、弱驱动的随机微分方程（SDEs）的顶部李雅普诺夫指数的定量下界。通过推导一个将李雅普诺夫指数与投影过程的平稳密度联系起来的费雪信息恒等式，并应用一种新的L1框架下的定量拟椭圆正则性理论，作者们首次在数学上严格证明了当在任意连续一对模态上施加加法噪声时，洛伦兹-96模型在任意维度下的顶部李雅普诺夫指数为正。

ABSTRACT

In this article, we review our recently introduced methods for obtaining strictly positive lower bounds on the top Lyapunov exponent of high-dimensional, stochastic differential equations such as the weakly-damped Lorenz-96 (L96) model or Galerkin truncations of the 2d Navier-Stokes equations. This hallmark of chaos has long been observed in these models, however, no mathematical proof had been made for either deterministic or stochastic forcing. The method we proposed combines (A) a new identity connecting the Lyapunov exponents to a Fisher information of the stationary measure of the Markov process tracking tangent directions (the so-called "projective process"); and (B) an $L^1$-based hypoelliptic regularity estimate to show that this (degenerate) Fisher information is an upper bound on some fractional regularity. For L96 and GNSE, we then further reduce the lower bound of the top Lyapunov exponent to proving that the projective process satisfies H\"ormander's condition. We review the recent contributions of the first and third author on the verification of this condition for the 2d Galerkin-Navier-Stokes equations in a rectangular, periodic box of any aspect ratio. Finally, we briefly contrast this work with our earlier work on Lagrangian chaos in the stochastic Navier-Stokes equations. We end the review with a discussion of some open problems.

研究动机与目标

• 开发一种数学上严格的方法，用于在现有方法失效的随机系统中建立顶部李雅普诺夫指数的定量下界。
• 证明弱耗散、弱驱动SDEs（包括洛伦兹-96和截断Galerkin的纳维-斯托克斯方程等基本模型）的顶部李雅普诺夫指数为正。
• 在单位切丛上投影过程的平稳密度正则性与李雅普诺夫指数之间建立新的联系。
• 在L1框架下发展一种定量拟椭圆正则性理论，通过Sobolev范数从下方控制退化的费雪信息。

提出的方法

• 推导一个新恒等式（定理A），将顶部李雅普诺夫指数λ1表示为单位切丛SRn上平稳密度f的退化费雪信息泛函FI(f)的函数。
• 建立一个定量拟椭圆正则性结果（定理B），表明费雪信息FI(f)控制f的局部W^{s,1}_{loc} Sobolev范数，其中s > 0。
• 使用单位切丛SRn上的投影过程(wt) = (xt, vt)，其中vt追踪流的归一化切线方向，以分析线性化扰动的动力学。
• 利用Sasaki度量和水平与垂直分量的正交分解，将原始向量场Xk在Rn上提升为SRn上的投影向量场˜Xk。
• 应用一种新颖的基于L1的拟椭圆正则性理论，通过局部Sobolev半范数从下方有界费雪信息，从而将平稳密度的正则性与λ1的下界联系起来。
• 证明由投影向量场˜Xk生成的李代数满足抛物型霍尔曼德条件，从而保证投影过程的拟椭圆性与遍历性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种新方法，严格建立弱耗散、弱驱动SDEs的顶部李雅普诺夫指数的下界？
• RQ2 投影丛上平稳密度的费雪信息是否控制李雅普诺夫指数，且该控制能否被量化？
• RQ3 能否构建一种基于L1的定量拟椭圆正则性理论，通过Sobolev范数从下方控制费雪信息？
• RQ4 洛伦兹-96模型在任意维度下，当在任意连续一对模态上施加加法噪声时，其顶部李雅普诺夫指数是否为正？
• RQ5 该方法能否应用于其他基本模型，如截断Galerkin的纳维-斯托克斯方程？

主要发现

• 本文建立了一个新恒等式（定理A），表明顶部李雅普诺夫指数满足nλ1 − 2λΣ = FI(f)，其中FI(f)是SRn上投影过程平稳密度f的退化费雪信息泛函。
• 作者证明了费雪信息FI(f)被f的某个s > 0的局部W^{s,1}_{loc} Sobolev半范数从下方控制，从而建立了正则性与李雅普诺夫指数之间的定量联系（定理B）。
• 对于任意维度n ≥ 3的洛伦兹-96模型，当加法噪声施加于任意连续一对模态时，顶部李雅普诺夫指数严格为正，这是该模型中混沌现象的首次严格证明。
• 该方法适用于一大类保持体积与范数的双线性漂移SDEs，包括截断Galerkin的纳维-斯托克斯方程，其李雅普诺夫指数的正性也得到了严格证明。
• 分析确认，在适度假设下，SRn上的投影过程是遍历的，并满足抛物型霍尔曼德条件，从而保证了平稳测度的存在性与唯一性。
• 在投影框架下，福尔斯特恩堡-哈斯明斯基公式被严格重新推导，确认了和李雅普诺夫指数λΣ等于漂移场散度的积分，且nλ1 − 2λΣ等于噪声场投影散度的积分。