[论文解读] A `relative' local Langlands correspondence

Dipendra Prasad|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用 29

一句话总结

本文提出了一个猜想性的‘相对’局部兰道斯对应关系，将局部域 E/F 的二次扩张下 G(E) 的不可约光滑表示中被 G(F) 所固定的线性形式进行分类，其依据是兰道斯参数。关键结果表明，G(F)-不变线性形式的维数等于从 PGL₂(ℂ) 到 GL₂(ℂ) 的 L-参数的不同提升数量，通过 L-群参数空间之间的几何映射，该结果推广至高秩群。

ABSTRACT

For $E/F$ quadratic extension of local fields and $G$ a reductive algebraic group over $F$, the paper formulates a conjecture classifying irreducible admissible representations of $G(E)$ which carry a $G(F)$ invariant linear form, and the dimension of the space of these invariant forms, in terms of the Langlands parameter of the representation. The paper studies parameter spaces of Langlands parameters, and morphisms between them associated to morphisms of $L$-groups. The conjectural answer to the question on the space of $G(F)$-invariant linear forms is in terms of fibers of a particular finite map between parameter spaces.

研究动机与目标

• 提出一个猜想，对 G(E) 的不可约光滑表示进行分类，这些表示上存在 G(F)-不变的线性形式。
• 以兰道斯参数为工具，理解此类 G(F)-不变线性形式空间的维数。
• 通过 L-参数空间上的几何结构，将 SL(2) 的情形推广至更高秩的半单群。
• 将不变形式的重数与 L-参数从 PGL₂(ℂ) 到 GL₂(ℂ) 的不同提升数量联系起来。
• 通过参数空间之间的函子性映射，为伽罗瓦情形下的相对兰道斯程序提供一个框架。

提出的方法

• 使用兰道斯-沃根参数化方法，将 G(E) 的表示与从 Weil-Deligne 群到 L-群 LG 的同态关联起来。
• 为 L-群 LG₁ 和 LG₂ 构造参数空间 X₁ = Hom(W'F, LG₁(ℂ)) 和 X₂ = Hom(W'F, LG₂(ℂ))。
• 研究商空间 X₁//bG₁(ℂ) 和 X₂//bG₂(ℂ)，它们用于分类光滑的 L-参数。
• 分析由同态 LG₁ → LG₂ 导出的有限映射 Φ: X₁//bG₁(ℂ) → X₂//bG₂(ℂ)，特别是在二次基变换的背景下。
• 研究 bG₁(ℂ) 和 bG₂(ℂ) 作用下点的稳定子，特别关注连通分支，以关联到重数。
• 将该框架应用于具体情形：环面、SL(2)、GL(n)、酉群及实半单群，使用上同调与几何工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以兰道斯参数来刻画不可约光滑表示 π 的 G(F)-不变线性形式空间？
• RQ2 G(F)-不变形式的重数与 L-参数从 PGL₂(ℂ) 到 GL₂(ℂ) 的不同提升数量之间的确切关系是什么？
• RQ3 如何通过 L-参数空间上的几何结构，将相对兰道斯对应关系从 SL(2) 推广至更高秩群？
• RQ4 在阿基米德情形下，对于 GLₙ(ℂ) 的一个标准系列表示 π，HomU(k+r,k+s)(π, ℂ) 的维数由什么决定？
• RQ5 一个紧致群 G 的纯内形对开轨道数以及在诱导表示上不变线性形式的数量有何影响？

主要发现

• 对于 SL(2)，在 SL(2,E) 的表示 π 上，SL(2,F)-不变线性形式空间的维数等于 L-参数 σπ: WE → PGL₂(ℂ) 到 ˜σπ: WF → PGL₂(ℂ) 的不同提升数量。
• 在 GLₙ(ℂ) 的情形下，HomU(k+r,k+s)(π, ℂ) 的维数由二项式系数 (ℓ r) 给出，其中 ℓ 是兰道斯参数中自共轭特征标数量，且仅当 r + s = ℓ 时非零。
• 对所有满足 p + q = n 的 p, q 求和，dim HomU(p,q)(π, ℂ) 的总和为 2ℓ，这与兰道斯参数通过从 GLₙ(ℝ) 的基变换获得的方式数一致。
• 对于实半单群，Gα(ℝ) 在 G(ℂ)/B(ℂ) 上的开轨道数为 WG/WKα，每个轨道贡献恰好一个不变线性形式，因此在所有纯内形上总共有 2d 个这样的形式，其中 d 是 G(ℂ) 的秩。
• 从 T_op(ℝ) 到 T(ℂ) 的特征标基变换的不同数量恰好为 2d，与纯内形数量及不变形式的总重数一致。
• 在阿基米德情形下，酉群的猜想与参数空间的几何结构以及伽罗瓦群对特征标的动作一致，当 ℓ < n 时，线性形式在开轨道上消失。