[论文解读] A relative notion of algebraic Lie group and applications to $n$-stacks

Carlos Simpson|ArXiv.org|Jul 3, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文引入了‘可表示的群层’——这是在基概形 S 上对代数李群的相对推广——将连通性与李代数等概念推广至相对情形。利用这些概念，定义了‘可表示的 n-层’，其在同伦纤维积与截断下封闭，实现了格罗滕迪克所构想的在特征零下对同伦类型的概形化。

ABSTRACT

If $S$ is a scheme of finite type over $k=\cc $, let $\Xx /S$ denote the big etale site of schemes over $S$. We introduce {\em presentable group sheaves}, a full subcategory of the category of sheaves of groups on $\Xx /S$ which is closed under kernel, quotient, and extension. Group sheaves which are representable by group schemes of finite type over $S$ are presentable; pullback and finite direct image preserve the notions of presentable group sheaves; over $S=Spec (k)$ then presentable group sheaves are just group schemes of finite type over $Spec(k)$; there is a notion of connectedness extending the usual notion over $Spec(k)$; and a presentable group sheaf $G$ has a Lie algebra object $Lie(G $. If $G$ is a connected presentable group sheaf then $G/Z(G)$ is determined up to isomorphism by the Lie algebra sheaf $Lie (G)$. We envision the category of presentable group sheaves as a generalisation relative to an arbitrary base scheme $S$, of the category of algebraic Lie groups over $Spec (k)$. The notion of presentable group sheaf is used in order to define {\em presentable $n$-stacks} over $\Xx$. Roughly, an $n$-stack is presentable if there is a surjection from a scheme of finite type to its $π_0$ (the actual condition on $π_0$ is slightly more subtle), and if its $π_i$ (which are sheaves on various $\Xx /S$) are presentable group sheaves. The notion of presentable $n$-stack is closed under homotopy fiber product and truncation. We propose the notion of presentable $n$-stack as an answer in characteristic zero for A. Grothendieck's search for what he called ``schematization of homotopy types''.

研究动机与目标

• 将代数李群的概念推广至任意基概形 S 上的相对情形。
• 回应 A. 格罗滕迪克对在特征零下实现同伦类型概形化的追求。
• 定义一类 n-层——‘可表示的 n-层’——其在同伦构造下表现良好。
• 将经典李理论中的概念（如连通性与李代数）推广至层论与相对情形。
• 为代数几何提供一个框架，通过层论群结构来建模高阶同伦类型。

提出的方法

• 在 S 上的大 etale 站的群层范畴中引入‘可表示的群层’作为全子范畴，其在核、商与扩张下封闭。
• 证明 S 上有限型的可表示群概形是可表示的，并且拉回与有限直接像保持可表示性。
• 为可表示的群层定义相对的连通性概念，推广经典情形下在 Spec(k) 上的定义。
• 为任意可表示的群层 G 构造一个李代数对象 Lie(G)，推广经典李代数构造。
• 通过对其同伦层 π₀ 与 πᵢ（i ≥ 1）的条件定义‘可表示的 n-层’，要求 π₀ 由有限型概形表示，πᵢ 为可表示的群层。
• 证明可表示的 n-层范畴在同伦纤维积与截断下封闭，确保其在关键同伦运算下稳定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典代数李群（在 Spec(k) 上）的概念推广至任意基概形 S 上的相对情形？
• RQ2 在 S 上的大 etale 站上，何种条件可确保一个群层在相对代数几何语境下表现如李群？
• RQ3 能否通过层论群结构在特征零下实现同伦类型的概形化？
• RQ4 经典李理论不变量（如李代数与伴随表示）在该相对框架下如何推广？
• RQ5 当 n-层的同伦层被限制为可表示的群层时，其结构性质如何？

主要发现

• 可表示的群层构成一个在核、商与扩张下封闭的全子范畴，推广了 S 上有限型群概形。
• 当 S = Spec(k) 时，可表示的群层与 Spec(k) 上有限型群概形一致，恢复经典情形。
• 若一个连通可表示的群层 G 满足 Lie(G) ≅ Lie(G')，则有 G/Z(G) ≅ G'/Z(G')，表明伴随群由其李代数唯一确定。
• 任意可表示的群层 G 均存在李代数对象 Lie(G)，推广了经典构造。
• 可表示的 n-层在同伦纤维积与截断下稳定，确保其具有良好的同伦行为。
• 该框架实现了格罗滕迪克在特征零下通过层论推广代数李群以实现同伦类型概形化的愿景。