[论文解读] On non-strict notions of $n$-category and $n$-groupoid via multisimplicial sets

Zouhair Tamsamani|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 1995

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文提出了一种使用多重单纯集的单纯方法来研究非严格 $n$-范畴与 $n$-群胚，推广了范畴的神经构造。它从空间 $X$ 定义了一个 $n$-群胚 $Π_n(X)$，以捕捉其 $n$-截断同伦型，并猜想几何实现与 $Π_n$ 在 $n$-截断空间与 $n$-群胚之间构成互为逆的等价关系。

ABSTRACT

In this paper we first give a simplicial approach to the definition of a non strict $n$-category that we call an $n$-nerve following the idea that a category could be interpreted as a simplicial set, and we prove that our construction generalises the case of the usual non strict 2-category. Next we give a simplicial definition of a non strict $n$-groupoid. Then we associate to any space $X$ an $n$-groupoid $Π_{_{n}}(X)$ which generalises the famous Poincaré groupoid $Π_{_{1}}(X)$ and embodies the $n$-truncated homotopy type of $X$. We also give a natural construction for the geometric realisation of an $n$-groupoid and we conjecture that the functor geometric realisation is an inverse up to equivalence to the functor $Π_{_{n}}(\ )$ from the category of $n$-truncated topological spaces to the category $n$-Gr of $n$-groupoids.

研究动机与目标

• 使用多重单纯集构建非严格 $n$-范畴的单纯框架。
• 将范畴的神经构造推广至高阶范畴结构。
• 从拓扑空间 $X$ 定义一个 $n$-群胚 $\Pi_n(X)$，以编码其 $n$-截断同伦型。
• 为 $n$-群胚建立一个自然的几何实现函子。
• 猜想几何实现与 $\Pi_n$ 在 $n$-截断空间与 $n$-群胚之间构成范畴等价。

提出的方法

• 使用多重单纯集作为建模非严格 $n$-范畴的基础结构。
• 通过迭代单纯构造定义非严格 $n$-范畴的 $n$-神经。
• 将 $\Pi_n(X)$ 构造为与空间 $X$ 关联的 $n$-群胚，推广了基本群胚 $\Pi_1(X)$。
• 利用多重单纯神经构造，为 $n$-群胚引入一个几何实现函子。
• 依赖单纯技巧与同伦代数，以确保高维结构的一致性。
• 应用高阶范畴可编码为高维单纯对象的观念，扩展了经典神经函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用多重单纯集以一种推广范畴神经构造的方式定义非严格 $n$-范畴？
• RQ2 何种适当的单纯构造可捕捉空间的 $n$-截断同伦型，从而构成 $n$-群胚？
• RQ3 能否为 $n$-群胚自然地定义一个几何实现函子，且其与 $\Pi_n$ 构造有何关系？
• RQ4 当与几何实现复合时，函子 $\Pi_n$ 从 $n$-截断空间到 $n$-群胚是否构成等价？
• RQ5 所提出的 $n$-群胚 $\Pi_n(X)$ 如何推广经典庞加莱基本群胚 $\Pi_1(X)$？

主要发现

• 本文通过使用多重单纯集对弱 $n$-范畴的 $n$-神经构造，实现了非严格 $n$-范畴的构建，推广了范畴的经典神经构造。
• 它从拓扑空间 $X$ 定义了一个 $n$-群胚 $\Pi_n(X)$，以编码 $X$ 的 $n$-截断同伦型，推广了 $\Pi_1(X)$。
• 通过多重单纯神经与实现技术，为 $n$-群胚构造了一个自然的几何实现函子。
• 本文猜想几何实现函子是 $\Pi_n$ 函子的拟逆，从而在 $n$-截断空间的同伦范畴与 $n$-群胚范畴之间建立等价关系。
• 该构造在非严格 2-范畴情形下得到验证，支持了该方法在二维情形的有效性。
• 该框架为高阶范畴提供了一个与同伦结构相容的单纯与多重单纯模型。