[论文解读] A Relativistic Approach on 1-Jet Spaces of the Rheonomic Berwald-Moor Metric

Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文利用时变的Berwald-Moór度量，在1-喷射空间上构建了一种类芬斯勒几何，提出了一种基于时变芬斯勒结构的相对论性引力场理论。关键贡献在于构造了一个非各向同性的几何框架，包含Cartan典范联络、d-挠率、d-曲率以及几何爱因斯坦方程，表明该理论即使在无穷远处类似真空条件下仍产生非零的应力-能量分量，暗示其具有强烈的引力内涵，而电磁效应则为平凡的。

ABSTRACT

The aim of this paper is to develop on the 1-jet space J^1(R,M^4) the Finsler-like geometry (in the sense of d-connection, d-torsions and d-curvatures) of the rheonomic Berwald-Moor metric. A natural geometrical gravitational field theory produced by the rheonomic Berwald-Moor metric is also constructed.

研究动机与目标

• 利用时变的Berwald-Moór度量在1-喷射空间 $J^1(\bbR, M^4)$ 上构建一种类芬斯勒几何框架。
• 基于时变Berwald-Moór度量的芬斯勒几何，构建一个相对论性引力场理论。
• 分析该非各向同性时空设定下的d-联络、d-挠率、d-曲率以及几何爱因斯坦方程。
• 研究该理论的物理含义，特别是关于应力-能量守恒与电磁对偶性的问题。

提出的方法

• 研究采用1-喷射空间 $J^1(\bbR, M^4)$ 上的时变Berwald-Moór度量 $\mathring{F}(t,y) = \sqrt{h^{11}(t)} \sqrt[4]{y_1^1 y_1^2 y_1^3 y_1^4}$，其中 $h_{11}(t)$ 是 $\bbR$ 上的黎曼度量。
• 从度量推导出典范非线性联络与Cartan典范联络，从而定义d-联络、d-挠率与d-曲率。
• 利用d-张量 $G_{ij11}$ 与芬斯勒函数 $F$ 构造几何爱因斯坦方程，其中度量 $g_{ij}(t,x,y)$ 由 $F^2$ 的二阶偏导数导出。
• 计算应力-能量d-张量分量 $\mathcal{T}_1$、$\mathcal{T}_i$ 与 $\mathcal{T}_{(i)}^{(1)}$，并证明其非零，表明存在非平凡的引力效应。
• 从拉格朗日框架推导出电磁学的特殊2-形式 $\mathbb{F}$，但发现其在该度量下恒为零，意味着电磁效应为平凡的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用时变Berwald-Moór度量在1-喷射空间 $J^1(\bbR, M^4)$ 上定义类芬斯勒几何？
• RQ2 在此几何框架下，d-联络、d-挠率与d-曲率分量为何？
• RQ3 在该度量下，几何爱因斯坦方程与应力-能量d-张量分量的行为如何？
• RQ4 为何由此度量导出的电磁理论得到的 $\mathbb{F}$-形式为平凡的？
• RQ5 即使在无穷远处应力-能量分量非零，会带来何种物理含义？

主要发现

• 应力-能量d-张量分量 $\mathcal{T}_1$、$\mathcal{T}_i$ 与 $\mathcal{T}_{(i)}^{(1)}$ 对所有 $i = 1,\dots,4$ 均非零，表明即使在类似真空的条件下，引力场仍为非平凡的。
• 方程组 $\frac{dh_{11}}{dt}\left[2\frac{d^2h_{11}}{dt^2} - \frac{3}{h_{11}}\left(\frac{dh_{11}}{dt}\right)^2\right] = 0$ 与 $9h_{11} + (\varkappa_{11}^1)^2 = 0$ 在 $h_{11} > 0$ 时无解，证明应力-能量分量无法消失。
• 在无穷远处（$y_1^i \to \infty$），应力-能量d-张量趋于零，表明该理论在渐近区域具有物理可行性。
• 电磁学的特殊2-形式 $\mathbb{F} = \mathring{\mathbb{F}} = 0$ 恒为零，表明在此框架下几何电磁理论为平凡的。
• 由于d-挠率与d-曲率非零，该理论表现出强烈的引力内涵，而电磁效应则完全缺失。
• 应力-能量d-张量的守恒律表达为 $\frac{\partial \mathcal{T}_{(1)(i)}^{(m)(1)}}{\partial y_1^m} = \mathcal{T}_{(1)(i)}^{(r)(1)}C_{r(m)}^{m(1)} - \mathcal{T}_{(1)(r)}^{(m)(1)}C_{i(m)}^{r(1)}$，由d-联络与曲率分量导出。