[论文解读] A remark on compact Kähler manifolds with nef anticanonical bundles and its applications

Junyan Cao|arXiv (Cornell University)|May 19, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文证明了在极化于 $(\omega_X)^{n-1}$ 的紧致 Kähler 流形上，若其反 canonical 线丛为 nef，则其切丛的 Harder-Narasimhan 分解的斜率是半正定的。利用此结果，本文给出了有理连通流形的一种新的解析刻画，并给出了 Albanese 映射的满射性与 codimension-2 光滑性的纯解析证明，将此前仅在代数情形成立的结果推广至 Kähler 情形。

ABSTRACT

Let $(X, ω_X)$ be a compact Kähler manifold such that the anticanonical bundle $-K_X$ is nef. We prove that the slopes of the Harder-Narasimhan filtration of the tangent bundle with respect to a polarization of the form $ω_X^{n-1}$ are semi-positive. As an application, we give a characterization of rationally connected compact Kähler manifolds with nef anticanonical bundles. As another application, we give a simple proof of the surjectivity of the Albanese map.

研究动机与目标

• 证明对于紧致 Kähler 流形，若其反 canonical 线丛为 nef，则在极化于 $(\omega_X)^{n-1}$ 的条件下，其切丛的 Harder-Narasimhan 分解的斜率是半正定的。
• 通过余切丛张量幂的全局截面的消失性，给出具有 nef 反 canonical 线丛的紧致有理连通 Kähler 流形的一种新的解析刻画。
• 为这类流形提供 Albanese 映射的满射性与 codimension-2 光滑性的纯解析证明，将此前仅在射影情形成立的结果推广至 Kähler 情形。
• 建立关于 $c_2(T_X)$ 沿扰动的 nef 类积分的非负性新结果，并给出等号成立时的结构定理。

提出的方法

• 通过一族奇异度量与关于 $\omega_X^{n-1}$ 的 Harder-Narasimhan 分解，使用直接的解析论证，证明 Harder-Narasimhan 斜率的半正定性。
• 在通过解析展开 $\pi: \widetilde{X} \to X$ 拉回的切丛上应用 Bochner 技巧，利用分解商的 Hermitian-Einstein 度量。
• 利用分解商斜率的统一下界，构造 $\pi^*(T_X)^{\otimes m}$ 上的光滑度量 $h_\epsilon$，使得 $i\Theta_{h_\epsilon}(\pi^*T_X^{\otimes m}) \wedge (\pi^*\omega + \epsilon \omega_{\widetilde{X}})^{n-1} \geq \frac{m \cdot c}{4} \text{Id}$。
• 基于某些上同调类 $T_\epsilon$ 的正合性及其统一的 $L^1$-有界性，使用反证法证明某些截面必须消失。
• 运用 Höring 的思想，将 $\int_X c_2(T_X) \wedge (c_1(-K_X) + \epsilon \omega_X)^{n-2}$ 的非负性与 Harder-Narasimhan 分解的半正定性联系起来。
• 应用 [CDP12] 中的判别准则，将全局截面的消失性约化为 Harder-Narasimhan 分解上的斜率条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧致 Kähler 流形，若其反 canonical 线丛为 nef，则在极化于 $(\omega_X)^{n-1}$ 的条件下，其切丛的 Harder-Narasimhan 分解的斜率是否半正定？
• RQ2 具有 nef 反 canonical 线丛的紧致有理连通 Kähler 流形，是否可通过 $H^0(X, (T_X^*)^{\otimes m})$ 对所有 $m \geq 1$ 消失来刻画？
• RQ3 对于具有 nef 反 canonical 线丛的紧致 Kähler 流形，其 Albanese 映射是否满射且在 codimension 至少为 2 的子簇外光滑？
• RQ4 第二陈类 $c_2(T_X)$ 是否满足 $\int_X c_2(T_X) \wedge (c_1(-K_X) + \epsilon \omega_X)^{n-2} \geq 0$ 对足够小的 $\epsilon > 0$？

主要发现

• 对于任意具有 $-K_X$ nef 的紧致 Kähler 流形，其切丛 $T_X$ 关于 $\omega_X^{n-1}$ 的 Harder-Narasimhan 分解的斜率是半正定的。
• 命题 1.3 中的四个条件 (i)–(iv) 等价：对所有 $m \geq 1$ 有 $H^0(X, (T_X^*)^{\otimes m}) = 0$，有理连通性，以及关于 $\omega_X^{n-1}$ 的切丛的严格正性。
• 对于任意具有 $-K_X$ nef 的紧致 Kähler 流形，其 Albanese 映射是满射，且在 codimension 至少为 2 的子簇外光滑。
• 当 $\epsilon > 0$ 足够小时，有 $\int_X c_2(T_X) \wedge (c_1(-K_X) + \epsilon \omega_X)^{n-2} \geq 0$，且等号成立时，$X$ 是一个环面的有限 étale 覆盖，或是一个环面上的 $\mathbb{P}^1$-纤维化。
• 关于 $H^0(X, (T_X^*)^{\otimes m} \otimes F^{\otimes k})$ 在 $m$ 相对于 $k$ 足够大时的消失性证明是纯解析的，避免了先前工作中使用的代数方法。
• 该结果将已知的射影情形推广至一般的 Kähler 情形，包括非代数流形。