[论文解读] Relative adjoint transcendental classes and Albanese maps of compact Kaehler manifolds with nef Ricci curvature

Mihai Păun|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 17

一句话总结

该论文在紧致凯勒纤维化且 Ricci 曲率为拟正的条件下，于纤维化正则部分上建立了相对伴随超越类 $c_1(K_{X/Y}) + \{\beta\}$ 中闭正当前 $\Theta$ 的存在性，其在纤维上满足正则性条件。关键贡献在于通过扭曲凯勒-爱因斯坦度量的度量方法与复蒙日-安培方程的曲率估计，证明了具有拟正反 canonical 线丛的紧致凯勒流形的 Albanese 映射的满射性。

ABSTRACT

Given a surjective holomorphic map between two compact Kaehler manifolds, we investigate the positivity properties of relative adjoint transcendental classes which are inherited from similar fiberwise properties. As a consequence, we solve a problem proposed by J.-P. Demailly, T. Peternell and M. Schneider concerning the Albanese morphism of Kaehler manifolds with nef anticanonical class.

研究动机与目标

• 在纤维上凯勒条件下，建立相对伴随类 $c_1(K_{X/Y}) + \{\beta\}$ 的正则性性质。
• 通过度量方法将扭曲 canonical 线丛的结果推广至超越上同调类。
• 证明具有 $-K_X$ 拟正的紧致凯勒流形的 Albanese 映射的满射性，将已知的射影结果推广至凯勒情形。
• 为非代数凯勒流形发展伴随超越类理论的度量版本。

提出的方法

• 使用复蒙日-安培方程在 $X_0 = p^{-1}(Y \setminus W)$ 上构造纤维上的扭曲凯勒-爱因斯坦度量。
• 构造一个在 $c_1(K_{X/Y}) + \{\beta\}$ 中的闭正当前 $\Theta$，其在 $X_0$ 上为半正。
• 应用 Ohsawa-Takegoshi 延拓定理与逼近定理，控制在解析集 $X \setminus X_0$ 附近的奇点。
• 通过 Albanese 映射像的解析化，将 Albanese 映射满射性问题约化为相对 canonical 线丛的正则性。
• 使用度量拟正性（定义 1.2）将代数意义上的拟正性推广至超越上同调类。
• 将 [34] 与 [45] 中的技术适应至凯勒情形，以度量正则性替代线丛理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，相对伴随类 $c_1(K_{X/Y}) + \{\beta\}$ 包含一个闭正当前 $\Theta$，其在纤维化正则部分上半正？
• RQ2 能否在不假设射影性的情况下，证明具有 $-K_X$ 拟正的紧致凯勒流形的 Albanese 映射的满射性？
• RQ3 如何通过度量正则性将伴随超越类理论推广至非代数凯勒流形？
• RQ4 纤维上 $c_1(K_{X_y}) + \{\beta\}|_{X_y}$ 的正则性在确保相对类全局正则性中起何作用？

主要发现

• 相对伴随类 $c_1(K_{X/Y}) + \{\beta\}$ 包含一个闭正当前 $\Theta$，其在纤维化正则部分 $X_0$ 上半正。
• 若 $\beta$ 为凯勒度量，则 $\Theta$ 在 $X_0$ 的任意相对紧开子集上支配一个凯勒度量。
• 若 $\beta \geq p^*\gamma$ 对某个 $Y$ 上的 $(1,1)$-形式 $\gamma$ 成立，则 $\Theta \geq p^*\gamma$。
• 对于任意具有 $-K_X$ 度量拟正的紧致凯勒流形 $X$，其 Albanese 映射 $\alpha_X: X \to \mathrm{Alb}(X)$ 是满射。
• 该结果通过度量技术而非特征 $p$ 方法，将 Zhang 的射影满射定理推广至凯勒范畴。
• 提出主定理的奇异版本猜想：若 $\{\beta\}$ 允许一个满足可积性条件的正当前，则可将 klt 对推广至凯勒情形。