[论文解读] A remark on Kähler metrics of constant scalar curvature on ruled complex surfaces

Vestislav Apostolov, Christina W. Tønnesen-Friedman|ArXiv.org|Nov 11, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文证明了在亏格 ≥ 2 的紧黎曼曲面上的几何双曲复曲面，若其底层全纯向量丛非多项式稳定，则不允许可常数量曲率凯勒（CSC Kähler）度量。作者通过福塔基不变量障碍与极值度量的唯一性，利用稳定性理论与形变技巧，反证法证明了其不存在性。

ABSTRACT

We point out how some recent developments in the theory of constant scalar curvature Kähler metrics can be used to clarify the existence issue for such metrics in the special case of geometrically ruled complex surfaces.

研究动机与目标

• 解决几何双曲复曲面上常数量曲率凯勒（CSC Kähler）度量的存在性问题。
• 阐明丛稳定性——特别是多项式稳定——在决定双曲曲面上CSC Kähler度量存在性中的作用。
• 应用极值度量唯一性与稳定性理论的最新进展，排除非多项式稳定情形下CSC Kähler度量的存在性。
• 证明在亏格 ≥2 曲线上，非多项式稳定的向量丛会导致福塔基不变量非零，从而阻碍CSC Kähler度量的存在。

提出的方法

• 将福塔基不变量用作CSC Kähler度量存在性的障碍，显式计算双曲曲面上全纯向量场的福塔基不变量。
• 应用陈–唐纳森–田的唯一性定理，该定理指出在固定凯勒类中，任意两个极值凯勒度量均为全纯等距。
• 利用Narasimhan–Ramanan逼近定理，将非多项式稳定的丛形变为稳定的丛，同时保持双曲曲面的全纯类型不变。
• 利用如下事实：若全纯向量场的福塔基不变量非零，则与CSC Kähler度量的存在性矛盾，此为福塔基准则。
• 分析全纯向量场在双曲曲面上的作用，推导出存在具有不动点的S¹作用，从而导致丛的分解。
• 结合Ross–Thomas关于斜率稳定性的结果与极值度量理论，证明非半稳定丛意味着在有理凯勒类中CSC Kähler度量不存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，全纯向量丛E使得双曲曲面P(E)允许可常数量曲率凯勒度量？
• RQ2 福塔基不变量的非零性是否可用于排除非多项式稳定丛上双曲曲面的CSC Kähler度量存在性？
• RQ3 当将极值凯勒度量的唯一性定理应用于亏格 ≥2 曲线上的非多项式稳定丛时，是否会导出矛盾？
• RQ4 在几何双曲复曲面上，底层面向量丛的稳定性在多大程度上决定了CSC Kähler度量的存在性？

主要发现

• 若在亏格g ≥ 2 的紧黎曼曲线上，全纯向量丛E非多项式稳定，则双曲曲面P(E)不允许可常数量曲率凯勒度量。
• 在P(O ⊕ L)上，与C×作用相关的全纯向量场的福塔基不变量非零，直接阻碍了CSC Kähler度量的存在。
• 极值凯勒度量的唯一性定理意味着：若双曲曲面允许可CSC Kähler度量，则任一极值度量必为CSC，但在非多项式稳定条件下该结论不成立。
• 对于非多项式稳定的E，其稳定形变E′的存在，导致双曲曲面P(E′)存在一极值度量，但该度量不与局部对称度量全纯等距，与唯一性矛盾，从而排除了CSC度量的存在。
• 该结果可推广至任意秩的丛在亏格 ≥2 曲线上，表明当丛非半稳定时，CSC Kähler度量不存在。
• 本文确认，斜率稳定性（由Ross–Thomas定义）意味着在有理凯勒类中，非半稳定丛不允许可CSC Kähler度量，即使在秩大于2时也成立。