[论文解读] An obstruction to the existence of constant scalar curvature Kähler metrics

Julius Ross, Richard Thomas|ArXiv.org|Dec 29, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用 14

一句话总结

本文通过基于子概形定义的斜率半稳定化条件，提出了一类新的常数量曲率凯勒（cscK）度量在极化复流形上存在的障碍。证明了若一个流形存在cscK度量，则其斜率必须不小于任何子概形的斜率；该障碍适用于德尔费特表面、射影丛及爆破，提供了即使在平凡自守群下也不存在cscK度量的凯勒类的显式例子。

ABSTRACT

We prove that polarised manifolds that admit a constant scalar curvature Kähler (cscK) metric satisfy a condition we call slope semistability. That is, we define the slope $μ$ for a projective manifold and for each of its subschemes, and show that if $X$ is cscK then $μ(Z)\leμ(X)$ for all subschemes $Z$. This gives many examples of manifolds with Kähler classes which do not admit cscK metrics, such as del Pezzo surfaces and projective bundles. If $\PP(E) o B$ is a projective bundle which admits a cscK metric in a rational Kähler class with sufficiently small fibres, then $E$ is a slope semistable bundle (and $B$ is a slope semistable polarised manifold). The same is true for \emph{all} rational Kähler classes if the base $B$ is a curve. We also show that the slope inequality holds automatically for smooth curves, canonically polarised and Calabi Yau manifolds, and manifolds with $c_1(X)<0$ and $L$ close to the canonical polarisation.

研究动机与目标

• 建立极化复流形上常数量曲率凯勒（cscK）度量存在的新代数障碍。
• 为流形的子概形定义一个斜率不变量，并证明cscK度量蕴含斜率半稳定化。
• 提供显式例子，说明在德尔费特表面和射影丛上，即使自守群平凡，某些凯勒类也不存在cscK度量。
• 通过几何与代数方法，扩展对K-稳定性及其与cscK度量关系的理解。

提出的方法

• 通过在Z上对X的爆破上的交比理论，为极化流形(X,L)的子概形Z定义斜率μ(Z)。
• 引入一个依赖于参数c的修正斜率μ_c(O_Z, L)，该参数与Seshadri常数ε(Z,L)相关，用于度量L在Z附近的正性。
• 利用爆破上的渐近Riemann-Roch展开式与交比公式，推导出斜率不稳定化的判别准则。
• 应用斜率不等式μ_c(O_Z, L) < μ(X,L)以检测对K-半稳定化的障碍，从而检测cscK度量的障碍。
• 分析射影丛、P²的爆破及德尔费特表面等具体情形，以实际演示该障碍。
• 利用关于凯勒爱因斯坦度量与稳定性在典范与反典范极化下的已知结果，验证特殊情形下的斜率条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个存在cscK度量的极化流形是否都满足通过子概形定义的斜率半稳定化条件？
• RQ2 斜率半稳定化能否用于在Calabi-Futaki不变量消失的凯勒类中阻碍cscK度量的存在？
• RQ3 对于射影丛P(E) → B，当E与B满足何种条件时，斜率半稳定化可推出cscK度量的存在？
• RQ4 是否存在显式例子，说明在自守群平凡的曲面上，某些凯勒类不具有cscK度量，且斜率半稳定化可检测到这些情况？
• RQ5 斜率半稳定化是否能恢复或扩展已知障碍，如K-稳定性或凯勒爱因斯坦度量的存在性？

主要发现

• 本文证明，若极化流形(X,L)存在cscK度量，则其必须为斜率半稳定化，即对所有子概形Z，有μ(Z) ≤ μ(X)。
• 对于射影丛P(E) → B，若在有理凯勒类中存在cscK度量且纤维足够小，则E必须为斜率半稳定化；若B为曲线，则对所有有理类均成立。
• 对于光滑曲线、典范极化流形、卡拉比-丘流形，以及c₁(X) < 0且L接近典范类的流形，斜率不等式自动成立。
• 构造了显式例子，其中(X,L)具有平凡自守群但不存在cscK度量，例如在特定极化下将P²在≥4个点处爆破的情形。
• 在例外除子较大的极化下，Pⁿ在一点处的爆破对斜率不稳定化，表明此类情形存在障碍。
• 德尔费特曲面上的−2曲线可在某些极化下使流形不稳定化，提供了一个具体的障碍示例。