[论文解读] A remark on quiver varieties andweyl groups

Andrea Maffei|ArXiv.org|Mar 25, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 44

一句话总结

本文通过使用该流形的投影环的生成元，对有限型 quiver 且参数为一般情形下的 quiver 变体 $M_{m,\lambda}(d,v)$，提供了 Weyl 群作用的代数直接构造。其主要贡献是推广了 Nakajima 的解析构造的新型扭曲 quiver 变体之间的同构，并证明了当 $d-v$ 为正则权时，$M_0(d,v)$ 的正规性与 $M(d,v)$ 的连通性。

ABSTRACT

In this paper we define an action of the Weyl group on the quiver varieties $M_{m,\grl}(d,v)$ with generic $(m,\grl)$. To do it we describe a set of generators of the projective ring of a quiver variety. We also prove connectness for the smooth quiver variety $M(d,v)$ and normality for $M_0(d,v)$ in the case of a quiver of finite type and $d-v$ a regular weight.

研究动机与目标

• 提供 quiver 变体上 Weyl 群作用的直接代数构造，避免使用分析方法。
• 描述 quiver 变体的投影环的一组生成元，以实现其结构的显式代数操作。
• 将 Lusztig 的 Weyl 群表示的同调构造推广到更广泛的 quiver 变体类别。
• 证明当 $d-v$ 为正则时，有限型情形下 $M_0(d,v)$ 的正规性与 $M(d,v)$ 的连通性。
• 将 $M_{0,0}(d,v)$ 的几何性质研究简化为 $d-v$ 为极大权的情形，从而简化分析。

提出的方法

• 将 quiver 变体 $M_{m,\lambda}(d,v)$ 定义为一个余变函数环的 $\mathbf{Proj}$，使用 Nakajima 的代数构造方法。
• 显式构造 quiver 变体上余变函数环的生成元，尤其在特殊情形下。
• 利用这些生成元，为 Weyl 群中的任意 $\sigma$，定义 $M_{m,\lambda}(d,v)$ 与 $M_{\sigma m,\sigma\lambda}(d,\sigma(v-d)+d)$ 之间的同构 $\Phi_{\sigma}$。
• 借助 Migliorini 的结果，将 quiver 变体的代数构造与超凯勒构造联系起来。
• 通过使用 $V_i^+(s)$ 维数对零纤维 $\mu^{-1}(0)$ 进行分层，以分析奇点与维数界。
• 利用 Lusztig 公式中的维数估计，证明当 $d-v$ 为正则时，$\text{codim}(\text{sing}) \geq 2$，从而推出正规性。

实验结果

研究问题

• RQ1 quiver 变体上的 Weyl 群作用能否在不依赖 instanton 模空间或解析几何的前提下实现代数构造？
• RQ2 quiver 变体的投影环的一组完整生成元是什么？它们如何用于定义 Weyl 群的同构？
• RQ3 在何种条件下，quiver 变体 $M_0(d,v)$ 是正规的，$M(d,v)$ 是连通的？
• RQ4 几何结构 $M_{0,0}(d,v)$ 如何依赖于 $d-v$ 的极大性与正则性？
• RQ5 能否将 $M_{0,0}(d,v)$ 的研究简化为 $d-v$ 为极大权的情形？

主要发现

• 本文为任意 $\sigma$ 在 Weyl 群中，构造了 $M_{m,\lambda}(d,v)$ 与 $M_{\sigma m,\sigma\lambda}(d,\sigma(v-d)+d)$ 之间的显式代数同构 $\Phi_{\sigma}$，在 $m,\lambda$ 一般时成立。
• quiver 变体的投影环由显式余变函数生成，从而实现了对变体结构的代数操作。
• 当 $d-v$ 为正则时，$M_0(d,v)$ 是正规且不可约的，$M(d,v)$ 是连通的，因为其奇点集的余维数至少为二。
• 当 $d-v$ 为极大时，$M_0(d,v)$ 是一个完全交，这是由于光滑点集 $M_{m_+,0}(d,v)$ 的稠密性所致。
• $\Phi_{\sigma}$ 提供了 Weyl 群作用在 quiver 变体上的新型代数实现，与 Lusztig 的同调构造不同。
• 结果将 $M_{0,0}(d,v)$ 的研究简化为 $d-v$ 为极大权的情形，从而简化了其几何性质的分析。