[论文解读] Quantizations of conical symplectic resolutions I: local and global structure

Tom Braden, Nicholas Proudfoot+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 60被引用 93

一句话总结

本文建立了一套关于锥型辛解析解的量化统一框架，将贝林森-伯恩斯坦局部化与哈里什-钱德拉双模理论推广至李代数之外。证明了在一般周期下，整体截面与局部化函子构成导出等价，将 braid 群作用与扭曲函子扩展至如 quiver 和超辛流形等新代数。

ABSTRACT

We re-examine some topics in representation theory of Lie algebras and Springer theory in a more general context, viewing the universal enveloping algebra as an example of the section ring of a quantization of a conical symplectic resolution. While some modification from this classical context is necessary, many familiar features survive. These include a version of the Beilinson-Bernstein localization theorem, a theory of Harish-Chandra bimodules and their relationship to convolution operators on cohomology, and a discrete group action on the derived category of representations, generalizing the braid group action on category O via twisting functors. Our primary goal is to apply these results to other quantized symplectic resolutions, including quiver varieties and hypertoric varieties. This provides a new context for known results about Lie algebras, Cherednik algebras, finite W-algebras, and hypertoric enveloping algebras, while also pointing to the study of new algebras arising from more general resolutions.

研究动机与目标

• 将贝林森-伯恩斯坦局部化与哈里什-钱德拉双模理论推广至普遍包络代数之外。
• 为一般周期下量化解析解上的模范畴与其截面环之间的导出等价性建立框架。
• 通过扭曲函子将 braid 群作用扩展至由辛解析解产生的新代数类。
• 为陈代数、有限 W-代数及超辛包络代数等代数的表示理论提供统一框架。

提出的方法

• 使用锥型辛解析解的形变量化，参数化于 H²(M; ℂ)。
• 应用量子哈密顿约化并证明量子杜斯特马特-赫克曼定理。
• 引入 Z-代数以在非一般周期下替代截面环 A。
• 构造一个 D -mod 类别，即在 M 为余切丛时，与扭曲 D-模等价的量化代数上的模。
• 通过整体截面与局部化函子在一般周期下建立导出等价。
• 利用索尔盖尔等价与几何实现，将扭曲函子从 O-范畴转移到量化解析解的导出范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将贝林森-伯恩斯坦局部化从旗流形推广至任意锥型辛解析解？
• RQ2 在何种条件下可保证量化解析解上的模范畴与其截面环之间存在导出等价？
• RQ3 扭曲函子与 braid 群作用如何从 O-范畴扩展至由辛解析解产生的新代数？
• RQ4 特征循环在扭曲函子作用于导出范畴中的角色是什么？
• RQ5 解析解的几何结构如何影响其量化表示理论的结构？

主要发现

• 当周期为 λ + kη 且 η 为充分正时，对所有除有限多个复数 k 外，整体截面与局部化函子的导出函子互为逆等价。
• 证明了量子版的杜斯特马特-赫克曼定理，将量化与哈密顿约化联系起来。
• 在表示的导出范畴上，扭曲函子被强交换性与在 Verma 模上的作用唯一刻画。
• 基本群 π₁(E/W, [λ]) 在导出范畴上的作用通过 Weyl 群实现，并诱导出到 H²ᵈⁱᵐᴹᶻ(M × M; ℂ) 的同态。
• 扭曲函子的格罗滕迪克群作用通过与几何哈里什-钱德拉双模及其特征循环的卷积实现。
• 本文在解析解上的扭曲 D-模导出范畴中，构造了阿赫皮罗夫扭曲函子的几何实现。