[论文解读] A Representation of Real and Complex Numbers in Quantum Theory

Paul Benioff|ArXiv.org|Aug 29, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于有限量子比特字符串形成的柯西序列的量子态等价类的实数与复数的量子理论表示方法。通过在二维晶格上定义产生/湮灭算符，并为有理数构造福克空间态，该方法将算术运算提升至柯西序列，从而在不引用经典实数集 R 或复数集 C 的前提下，构建出完备的数系，证明了即使单个项处于纠缠态，量子叠加态也能表示实数。

ABSTRACT

A quantum theoretic representation of real and complex numbers is described here as equivalence classes of Cauchy sequences of quantum states of finite strings of qubits. There are 4 types of qubits each with associated single qubit annihilation creation (a-c) operators that give the state and location of each qubit type on a 2 dimensional integer lattice. The string states, defined as finite products of creation operators acting on the qubit vacuum state correspond to complex rational numbers with real and imaginary components. These states span a Fock space. Arithmetic relations and operations are defined for the string states. Cauchy sequences of these states are defined, and the arithmetic relations and operations lifted to apply to these sequences. Based on these, equivalence classes of these sequences are seen to have the requisite properties of real and complex numbers. The representations have some interesting aspects. Quantum equivalence classes are larger than their corresponding classical classes, but no new classes are created. There exist Cauchy sequences such that each state in the sequence is an entangled superposition of the real and imaginary components, yet the sequence is a real number. Also, except for coefficients of superposition states, the construction is done with no reference to the real and complex number base, R and C, of the Fock space.

研究动机与目标

• 使用有限量子比特字符串构建实数与复数的量子理论基础，避免依赖经典数制。
• 通过量子柯西序列，弥合物理计算（有限系统）与数学完备性（实数/复数）之间的鸿沟。
• 探究量子表示是否能在不依赖经典数制的前提下，保持实数与复数的代数与拓扑结构。
• 研究在量子理论中构建数系时，量子叠加与纠缠的影响。
• 通过将数系嵌入量子形式体系，为物理与数学的统一理论奠定基础。

提出的方法

• 态通过在真空态上作用有限个产生算符构建，得到福克空间 F 中的复有理数。
• 在二维整数晶格上定义四类具有不同湮灭/产生算符的量子比特，以编码态与位置信息。
• 在字符串态上定义算术运算（加法、乘法），并将其提升至此类态的柯西序列。
• 实数与复数表示为福克空间中具有有理数态的柯西序列的等价类。
• 该构造不显式引用经典 R 或 C；相反，R 与 C 作为序列的等价类被推导而出。
• 通过差值的范数在序列空间上定义度量，确立 R^{ψ_n} 与 C^{ψ_n} 为完备度量空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用有限量子比特字符串，在量子理论中一致地表示实数与复数？
• RQ2 量子叠加与纠缠如何影响柯西序列中实数的表示？
• RQ3 经典数系（R, C）与其量子构造的对应物（R^{ψ_n}, C^{ψ_n}）之间存在何种关系？
• RQ4 同一物理系统能否同时由标准福克空间与基于量子数的福克空间（F^{ψ_n}）描述？
• RQ5 是否能够迭代构建在日益复杂的数系之上的福克空间层级？

主要发现

• 实数与复数表示为有限量子比特字符串的量子态柯西序列的等价类，保持了代数与拓扑结构。
• 量子等价类比经典等价类更大，但未产生新的数类，确保与经典数论的一致性。
• 柯西序列可由实部与虚部的纠缠叠加态构成，但仍能收敛至实数，展示了数表示中非平凡的量子行为。
• 该构造独立于经典基 R 或 C；所有数系均源自量子态与序列，避免了循环性。
• 通过差值的范数在序列空间上定义度量，证实 R^{ψ_n} 与 C^{ψ_n} 为完备度量空间。
• 该框架暗示了在日益复杂的数系之上构建福克空间层级的潜在可能性，为基础物理与量子数学开辟了新途径。