[论文解读] A review on SUSY gauge theories on $S^3$

Kazuo Hosomichi|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用 15

一句话总结

本综述通过局部化和鼓形球面背景，建立了 $S^3$ 上 3D ${\cal N}=2$ 超对称 gauge 理论与 4D 超共形指数之间的精确对应关系。它表明，$S^3_b$ 上的椭球分区函数通过 Scheck-Schwarz 紧化，编码了 4D 超共形指数，其中双正弦函数 $s_b(x)$ 将 3D 分区函数与 2D CFT 结构常数联系起来。

ABSTRACT

This is the 9th article in the collection of reviews "Exact results on N=2 supersymmetric gauge theories", ed. J.Teschner. We review the exact computations in 3D N=2 supersymmetric gauge theories on the round or squashed $S^3$ and the relation between 3D partition functions and 4D superconformal indices.

研究动机与目标

• 建立 $S^3$ 上 3D ${\cal N}=2$ 超对称 gauge 理论与 4D 超共形指数之间的精确对应关系。
• 阐明紧化参数 $b$ 在连接 3D 分区函数与 4D 指数计算中的作用。
• 通过局部化，统一描述在标准球面与鼓形 $S^3$ 上的 3D 分区函数与环可观测量。
• 通过 S-duality 域壁上的 AGT 类似对应关系，将 3D gauge 理论结果与 2D 共形场论联系起来。
• 展示双正弦函数 $s_b(x)$ 如何自然地出现在 3D 分区函数与 4D 指数计算中。

提出的方法

• 应用超对称局部化，将无限维路径积分约化为 $S^3$ 和 $S^3_b$ 上超对称鞍点的有限维积分。
• 使用具有 $U(1)\times U(1)$ 对称性的鼓形 $S^3_b$ 背景，通过背景矢量场与标量场实现刚性 ${\cal N}=2$ 超对称性。
• 利用双正弦函数 $s_b(x)$ 推导 $S^3_b$ 上的 3D 分区函数，该函数通过 zeta-正则化无限积定义。
• 通过在 $S^1 \times S^3$ 上采用具有扭结边界条件的 Scheck-Schwarz 紧化，将 3D 分区函数与 4D 超共形指数联系起来。
• 将紧化参数 $b$ 与 Liouville/Toda CFT 耦合常数关联，表明 $s_b(x)$ 同时出现在 3D 分区函数与 4D 指数结构常数中。
• 通过局部化分析环可观测量（如威尔逊环），获得关于 $s_b(x)$ 的精确表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 鼓形 $S^3_b$ 上的 3D 分区函数如何与 4D 超共形指数相关？
• RQ2 紧化参数 $b$ 在连接 3D gauge 理论与 4D CFT 中扮演何种角色？
• RQ3 双正弦函数 $s_b(x)$ 如何在 3D 分区函数与 4D 指数计算中自然出现？
• RQ4 如何通过 $S^1 \times S^3$ 的 Scheck-Schwarz 紧化重现具有 $SU(2)\times U(1)$ 对称性的鼓形 $S^3$ 背景？
• RQ5 4D ${\cal N}=2$ 理论中的 S-duality 域壁如何通过 AGT 类似关系导致 3D-2D 对应？

主要发现

• 鼓形 $S^3_b$ 上的 3D ${\cal N}=2$ 分区函数由依赖于紧化参数 $b$ 的双正弦函数 $s_b(x)$ 的乘积给出。
• 4D 超共形指数作为 $S^1$ 紧化极限，通过 Scheck-Schwarz 紧化精确地重现为 $S^3_b$ 上 3D 分区函数的极限。
• 双正弦函数 $s_b(x)$（通过 zeta-正则化乘积定义）同时出现在 3D 分区函数与耦合常数为 $b$ 的 2D Liouville/Toda CFT 的结构常数中。
• 3D 背景中的紧化参数 $b$ 对应于 Liouville 耦合常数，建立了 3D gauge 理论与 2D CFT 之间的直接联系。
• 在 $S^3$ 上的 3D ${\cal N}=2$ 理论中，威尔逊环期望值通过局部化精确计算，结果以 $s_b(x)$ 表达。
• $S^3_b$ 上的 3D 分区函数在 $b \to b^{-1}$ 下保持不变，反映了 4D 理论中的 S-duality，证实了 3D 与 4D 描述之间的对偶性。