[论文解读] Exact results for vortex loop operators in 3d supersymmetric theories

Nadav Drukker, Takuya Okuda+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用 19

一句话总结

本文通过超对称局部化方法，在 $\mathbb{S}^3$、$\mathbb{S}^3_b$ 和 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$ 上计算了 3D ${\mathcal{N}}=2$ 超对称 gauge 理论中 1/2-BPS 任意子环路算符的精确期望值。通过将路径积分约化为 $\mathbb{S}^3$、$\mathbb{S}^3_b$ 和 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$ 上的有限维矩阵模型，推导出具有奇异 gauge 场配置的任意子环路的精确结果，表明一阶行列式由非周期性球谐函数的谱分析和曲面上的指标理论决定。

ABSTRACT

Three dimensional field theories admit disorder line operators, dubbed vortex loop operators. They are defined by the path integral in the presence of prescribed singularities along the defect line. We study half-BPS vortex loop operators for N=2 supersymmetric theories on S^3, its deformation S^3_b and S^1 x S^2. We construct BPS vortex loops defined by the path integral with a fixed gauge or flavor holonomy for infinitesimal curves linking the loop. It is also possible to include a singular profile for matter fields. For vortex loops defined by holonomy, we perform supersymmetric localization by calculating the fluctuation modes, or alternatively by applying the index theory for transversally elliptic operators. We clarify how the latter method works in situations without fixed points of relevant isometries. Abelian mirror symmetry transforms Wilson and vortex loops in a specific way. In particular an ordinary Wilson loop transforms into a vortex loop for a flavor symmetry. Our localization results confirm the predictions of abelian mirror symmetry.

研究动机与目标

• 计算 3D ${\mathcal{N}}=2$ 超对称 gauge 理论中 1/2-BPS 任意子环路算符的精确真空期望值。
• 将超对称局部化技术扩展至具有沿曲线奇异 gauge 场配置的曲面背景。
• 对 $\mathbb{S}^3$ 和 $\mathbb{S}^3_b$ 上的非周期性球谐函数进行分类与分析，以计算一阶行列式。
• 通过将路径积分约化为有限维矩阵模型，推导阿贝尔理论中任意子环路算符的精确结果。
• 通过谱分析和边界项修正，建立 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$ 上任意子环路期望值与指标理论之间的联系。

提出的方法

• 在 $\mathbb{S}^3$ 上应用超对称局部化，使用由超对称 Yang-Mills 和 3D 轻子 multiplet 动力学构建的局部化作用。
• 通过由实对角矩阵 $H$（阿贝尔情况下为 $\eta$）参数化的奇异 gauge 场配置引入任意子环路算符，保持一半的超对称性。
• 对具有非标准周期性的 $\mathbb{S}^3$ 上微分算子进行谱分析，分类具有修正边界条件的标量、矢量和旋量谐函数。
• 通过分析 Dirac 算子 $D_{10}$ 的符号并利用 $s \to \infty$ 变形将零模局域化于极点附近，使用指标理论计算一阶行列式。
• 将局部化推广至压扁球面 $\mathbb{S}^3_b$ 和 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$，通过指标理论计算划分函数和任意子环路期望值。
• 通过场的上同调组织和约化公式计算算子 $D_{10}$ 的指标，考虑规范对称性和 R-对称性通量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有奇异 gauge 场配置的 3D ${\mathcal{N}}=2$ 超对称 gauge 理论中，如何一致地定义任意子环路算符？
• RQ2 在 $\mathbb{S}^3$、$\mathbb{S}^3_b$ 和 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$ 上，1/2-BPS 任意子环路算符的精确期望值是什么？
• RQ3 在任意子环路存在的情况下，球谐函数上的非周期性边界条件如何影响一阶行列式？
• RQ4 指标理论在计算曲面上超对称背景中任意子环路算符的一阶行列式中起什么作用？
• RQ5 在 $\mathbb{S}^3$ 上带有任意子环路的局部化程序与 Higgs 分支局部化之间有何关系，尽管规范对称性仅在任意子位置被局部破缺？

主要发现

• 在 $\mathbb{S}^3$ 上的阿贝尔 ${\mathcal{N}}=2$ 理论中，任意子环路算符的期望值由有限维矩阵积分给出，其受谱分析所得一阶行列式修正。
• 向量 multiplet 的一阶行列式计算为 $\text{ind}\,D_{10}^{\text{vec}} = -\sum_{n\in\mathbb{Z}}\sum_{\alpha\in\text{adj}}h^n\left(t^{-\alpha(m)/2}+t^{\alpha(m)/2}\right)e^{i\alpha(a)}$，其来源于 $\mathbb{S}^3$ 上零模的局域化。
• 对于轻子 multiplet，其指标为 $\text{ind}_{g}D_{10}^{\text{chi}} = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\sum_{r=0}^{\infty}\sum_{\rho\in R}h^n\left(t^{r-\frac{1}{2}\rho(m)}-t^{-r-1+\frac{1}{2}\rho(m)}\right)e^{i\rho(a)}f$，其贡献来自 R-荷和通量。
• Dirac 算子 $D_{10}$ 的零模在 $s \to \infty$ 极限下局域化于 $\mathbb{S}^3$ 的北极和南极，其波函数为 $\sim e^{-ir\varphi}\sin^r\theta \, e^{-2s\sin^2(\theta/2)}$。
• 在 $\mathbb{S}^3_b$ 和 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$ 上的指标计算通过指标理论得到一致结果，划分函数和环路期望值以谱数据表示。
• 尽管规范对称性仅在背景中冻结常数模态，该方法仍有效实现了 Higgs 分支上的局部化。