[论文解读] A Riemannian structure associated with a Finsler structure

Ricardo Gallego|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2005

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用 1

一句话总结

本文提出了一种通过将Finsler度量张量和Chern-Rund联络进行平均化程序，从Finsler空间导出黎曼结构的方法，从而得到一个黎曼度量和一个仿射、无扭转的联络。主要贡献在于利用平均度量，为Berwald曲面建立了广义的高斯-博内定理，同时引入了新的不变量和关于Holonomy的结果，证明了对称空间性质可从Finsler空间继承至平均化的黎曼度量。

ABSTRACT

Given a Finsler space (M,F) on a manifold M, the averaging method associates to Finslerian geometric objects affine geometric objects} living on $M$. In particular, a Riemannian metric is associated to the fundamental tensor $g$ and an affine, torsion free connection is associated to the Chern-Rund connection. As an illustration of the technique, a generalization of the Gauss-Bonnet theorem to Berwald surfaces using the average metric is presented. The parallel transport and curvature endomorphisms of the average connection are obtained. The holonomy group for a Berwald space is discussed. New affine, local isometric invariants of the original Finsler metric. The heredity of the property of symmetric space from the Finsler space to the average Riemannian metric is proved.

研究动机与目标

• 建立一种系统化方法，将Finsler空间与一个黎曼度量及仿射联络相关联。
• 利用平均化的黎曼度量，将高斯-博内定理推广至Berwald曲面。
• 通过平均化构造，识别出原始Finsler度量的新局部等距不变量。
• 研究Berwald空间中平均联络的Holonomy群。
• 证明对称空间性质可从Finsler空间继承至其对应的平均黎曼度量。

提出的方法

• 对Finsler基本张量应用平均化程序，在底流形上构造一个黎曼度量。
• 对Chern-Rund联络使用相同的平均化技术，在流形上生成一个仿射、无扭转的联络。
• 从所得仿射联络推导出平均联络的平行移动与曲率自同态。
• 将平均黎曼度量应用于Berwald曲面的上下文，推广高斯-博内定理。
• 分析平均联络的Holonomy群，以理解Berwald空间中的几何对称性。
• 证明若Finsler空间为对称空间，则其对应的平均黎曼度量也继承对称空间性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过平均化程序系统地从Finsler结构导出黎曼度量？
• RQ2 在Berwald空间中，平均联络的几何意义是什么，特别是关于曲率与Holonomy方面？
• RQ3 能否利用平均黎曼度量将高斯-博内定理扩展至Berwald曲面？
• RQ4 从平均化构造中，原始Finsler度量的新局部等距不变量有哪些？
• RQ5 在何种条件下，对称空间性质可从Finsler空间传递至其对应的黎曼度量？

主要发现

• 平均化方法成功地从Finsler结构生成了黎曼度量和一个仿射、无扭转的联络。
• 利用平均黎曼度量，为Berwald曲面建立了广义的高斯-博内定理。
• 明确推导出了平均联络的平行移动与曲率自同态。
• 分析了Berwald空间中平均联络的Holonomy群，揭示了其几何约束。
• 本文证明了若Finsler空间为对称空间，则其对应的平均黎曼度量也继承对称空间性质。
• 通过平均化构造，识别出原始Finsler度量的新仿射、局部等距不变量。