[论文解读] A #SAT Algorithm for Small Constant-Depth Circuits with PTF Gates

Lijie Chen|arXiv (Cornell University)|May 27, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 50被引用 2

一句话总结

本文证明，对于基础计算几何问题（如 ℓ2-最远点对、Hopcroft 问题和双色最近点对）的稍快算法，将意味着 THR◦THR 电路的超多项式大小下界，从而解决了电路复杂性领域的一个重大开放问题。通过利用阈值电路的新结构引理，并应用 Williams 的算法框架，该研究将算法运行时间的微小改进（如剪除对数因子）与 NEXP 和 ENP 的突破性电路下界联系起来。

ABSTRACT

Proving super-polynomial size lower bounds for $ extsf{TC}^0$, the class of constant-depth, polynomial-size circuits of Majority gates, is a notorious open problem in complexity theory. A major frontier is to prove that $ extsf{NEXP}$ does not have poly-size $ extsf{THR} \circ extsf{THR}$ circuit (depth-two circuits with linear threshold gates). In recent years, R.~Williams proposed a program to prove circuit lower bounds via improved algorithms. In this paper, following Williams' framework, we show that the above frontier question can be resolved by devising slightly faster algorithms for several fundamental problems: 1. Shaving Logs for $ extsf{$\ell_2$-Furthest-Pair}$. An $n^2 extrm{poly}(d) / \log^{ω(1)} n$ time algorithm for $ extsf{$\ell_2$-Furthest-Pair}$ in $\mathbb{R}^d$ for polylogarithmic $d$ implies $ extsf{NEXP}$ has no polynomial size $ extsf{THR} \circ extsf{THR}$ circuits. The same holds for Hopcroft's problem, $ extsf{Bichrom.-$\ell_2$-Closest-Pair}$ and Integer $ extsf{Max-IP}$. 2. Shaving Logs for Approximate $ extsf{Bichrom.-$\ell_2$-Closest-Pair}$. An $n^2 extrm(d) / \log^{ω(1)} n$ time algorithm for $(1+1/\log^{ω(1)} n)$-approximation to $ extsf{Bichrom.-$\ell_2$-Closest-Pair}$ or $ extsf{Bichrom.-$\ell_1$-Closest-Pair}$ for polylogarithmic $d$ implies $ extsf{NEXP}$ has no polynomial size $ extsf{SYM}\circ extsf{THR}$ circuits. 3. Shaving Logs for Modest Dimension Boolean $ extsf{Max-IP}$. An $n^2 / \log^{ω(1)} n$ time algorithm for Bichromatic Maximum Inner Product with vector dimension $d = n^ε$ for any small constant $ε$ would imply $ extsf{NEXP}$ has no polynomial size $ extsf{THR} \circ extsf{THR}$ circuits. Note there is an $n^2 extrm{polylog}(n)$ time algorithm via fast rectangle matrix multiplication. Our results build on two structure lemmas for threshold circuits.

研究动机与目标

• 解决 NEXP 是否具有多项式大小 THR◦THR 电路这一长期悬而未决的开放问题。
• 将 Williams 的算法框架扩展至通过改进基础问题的算法来建立电路下界。
• 证明对几何和内积问题已知算法的对数因子剪裁可导致强电路下界。
• 将 MAX-SAT 和 k-SAT 算法的改进与 SYM◦AND 和 TC 电路的下界联系起来。
• 推导出阈值电路的新结构表征，以支持算法约化。

提出的方法

• 提出两个关键结构引理：多项式大小的 THR◦THR 电路可表示为多项式多个多项式大小的 THR◦MAJ 电路的 OR，或为子指数多个多项式大小的 MAJ◦MAJ 电路的 OR。
• 使用非确定性技术对随机化约化进行去随机化，以应用 Williams 关于算法与下界之间联系的框架。
• 通过保持电路大小和深度的约化，将电路可满足性问题约化为几何问题（如最远点对、最近点对）。
• 应用已知的算法改进（如快速矩形矩阵乘法）推导出维度 d = n^ε 时双色最大内积的时间界。
• 通过将 SYM◦AND 电路约化为 OR◦MAJ◦OR 电路，将 MAX-SAT 算法与下界联系起来。
• 应用从 TC-SAT 到 k-CNF 公式的多对一约化，将 k-SAT 算法与对数深度 TC 电路的下界联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对 ℓ2-最远点对或相关问题的已知算法剪除对数因子，是否意味着 NEXP ∉ P/poly(THR◦THR)？
• RQ2 在对数对数维度下，双色最近点对的 (1+1/log^ω(1) n) 近似算法是否意味着 SYM◦THR 电路下界？
• RQ3 在 d = n^ε 维度下，双色最大内积的 n²/log^ω(1) n 时间算法是否意味着 NEXP ∉ P/poly(THR◦THR)？
• RQ4 对 MAX-SAT 的 2^{n·(1−1/2^{(log m)^o(1)})} 时间算法是否意味着 SYM◦AND 电路的超准多项式下界？
• RQ5 对 k-SAT 的 2^{n·(1−1/k^{1/ω(log log k)})} 时间算法是否能突破 TC 电路的 log log n 深度屏障？

主要发现

• 在多对数维度 d 下，ℓ2-最远点对问题的 n² poly(d)/log^ω(1) n 时间确定性算法意味着 NEXP ∉ P/poly(THR◦THR)。
• 对 Hopcroft 问题、双色 ℓ2-最近点对或整数最大内积问题的相同运行时间改进，也意味着 NEXP ∉ P/poly(THR◦THR)。
• 在多对数维度 d 下，双色 ℓ2 或 ℓ1-最近点对的 (1+1/log^ω(1) n) 近似算法意味着 NEXP ∉ P/poly(SYM◦THR)。
• 在 d = n^ε（任意 ε > 0）维度下，双色最大内积的 n²/log^ω(1) n 时间算法意味着 NEXP ∉ P/poly(THR◦THR)。
• 对 MAX-SAT 的 2^{n·(1−1/2^{(log m)^o(1)})} 时间算法意味着 NEXP ∉ 准多项式大小(SYM◦AND) 电路。
• 对 k-SAT 的 2^{n·(1−1/k^{1/ω(log log k)})} 时间算法意味着 ENP ∉ 线性大小 O(log log n)-深度 TC 电路。