[论文解读] Weights at the Bottom Matter When the Top is Heavy.

Arkadev Chattopadhyay, Nikhil S. Mande|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 3

一句话总结

本文通过构造一个由线性规模THR of THR电路可计算的函数f，建立了MAJ的THR与THR的THR之间的指数级分离，该函数的符号秩呈指数级增长，意味着f需要指数级规模的THR of MAJ电路。关键技术进展是利用逼近理论工具，为一个XOR函数建立了新颖的符号秩下界。

ABSTRACT

Proving super-polynomial lower bounds against depth-2 threshold circuits of the form THR of THR is a well-known open problem that represents a frontier of our understanding in boolean circuit complexity. By contrast, exponential lower bounds on the size of THR of MAJ circuits were shown by Razborov and Sherstov (SIAM J.Comput., 2010) even for computing functions in depth-3 AC^0. Yet, no separation among the two depth-2 threshold circuit classes were known. In fact, it is not clear a priori that they ought to be different. In particular, Goldmann, Hastad and Razborov (Computational Complexity, 1992) showed that the class MAJ of MAJ is identical to the class MAJ of THR. In this work, we provide an exponential separation between THR of MAJ and THR of THR. We achieve this by showing a function f that is computed by linear size THR of THR circuits and yet has exponentially large sign rank. This, by a well-known result, implies that f requires exponentially large THR of MAJ circuits to be computed. Our result suggests that the sign rank method alone is unlikely to prove strong lower bounds against THR of THR circuits. The main technical ingredient of our work is to prove a strong sign rank lower bound for an XOR function. This requires novel use of approximation theoretic tools.

研究动机与目标

• 解决布尔电路复杂度中THR of MAJ与THR of THR电路之间分离的开放性问题。
• 证明符号秩方法不足以用于证明针对THR of THR电路的强下界。
• 构造一个函数f，该函数可由THR of THR电路高效计算，但其符号秩呈指数级增长。
• 开发新的逼近理论技术，用于证明强符号秩下界。
• 澄清深度为2的阈值电路类之间的相对计算能力，特别是在先前等价关系（如MAJ of MAJ = MAJ of THR）的背景下。

提出的方法

• 构造一个特定的XOR函数f，利用高级逼近理论证明其符号秩呈指数级增长。
• 利用一个著名结果：符号秩与电路大小下界之间存在关联——高符号秩意味着THR of MAJ电路规模庞大。
• 使用新颖的逼近理论工具，为XOR函数建立强符号秩下界，克服了先前方法的局限性。
• 设计一个可由线性规模THR of THR电路计算的函数f，确保该电路类分离具有非平凡性。
• 应用对偶性与多项式逼近技术，分析函数f在阈值门与多数门上下文中的符号秩。
• 证明f的符号秩为超多项式，这意味着f无法被小型THR of MAJ电路计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在电路类THR of MAJ与THR of THR之间建立指数级分离？
• RQ2 符号秩方法是否足以用于证明针对THR of THR电路的强下界？
• RQ3 能否构造一个函数，其可由THR of THR电路高效计算，但符号秩呈指数级增长？
• RQ4 证明XOR函数强符号秩下界需要哪些新的逼近理论工具？
• RQ5 在先前等价关系（如MAJ of MAJ = MAJ of THR）的背景下，THR of MAJ与THR of THR电路的计算能力如何比较？

主要发现

• 函数f可由线性规模的THR of THR电路计算，确立了其在该类中的可计算性。
• 函数f具有指数级大的符号秩，这意味着任何计算f的THR of MAJ电路都必须是指数级规模。
• 这在电路类THR of MAJ与THR of THR之间建立了指数级分离。
• 由于存在符号秩高但THR of THR复杂度低的函数，符号秩方法本身不太可能用于获得针对THR of THR电路的强下界。
• 新颖地运用逼近理论工具，首次在该背景下实现了对XOR函数的强符号秩下界。
• 该结果表明THR of THR电路严格强于THR of MAJ电路，解决了电路复杂度领域长期存在的一个开放性问题。