[论文解读] A secret sharing scheme using groups

Dimitrios Panagopoulos|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2010

Cryptography and Data Security参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于群论的新型秘密共享方案，利用具有可解字问题的有限表示群中的字问题，将二进制秘密分发给 n 名参与者，仅当至少 t 名参与者协作时才能重建。该方案通过将秘密编码为群元素，使其等于单位元当且仅当所有 m 条关系均存在，从而确保少于 t 名参与者的组合无法重建秘密。

ABSTRACT

In this paper a secret sharing scheme based on the word problem in groups is introduced. The security of the scheme and possible variations are discussed in section 2. The article concludes with the suggestion of two categories of platform groups for the implementation of the scheme.

研究动机与目标

• 开发一种秘密共享方案，无需在分发份额时预先知晓秘密，从而实现在份额分发后动态分配秘密。
• 利用具有可解字问题的有限表示群的代数结构，实现信息论安全性。
• 确保任何少于 t 名参与者的联合体因缺少完整的群表示而无法重建秘密。
• 提出实用的平台群——可解群与考克斯eter群，以实现该方案的高效部署。
• 通过要求编码单位元的字涉及大部分关系，使攻击者难以利用部分关系进行攻击，从而增强对密码分析攻击的抵抗力。

提出的方法

• 选择一个具有可解字问题的有限表示群 G = ⟨x₁,…,xₖ | r₁,…,rₘ⟩，且满足 m = (n choose t−1) 条关系。
• 枚举 {1,…,n} 中所有 (t−1) 元子集 A₁,…,Aₘ，并将关系分配给参与者，使得参与者 i 收到所有满足 i ∉ Aⱼ 的关系 rⱼ。
• 向每位参与者 i 分配一组关系 Rᵢ，确保每条 rⱼ 恰好缺失于 t−1 位参与者的集合中。
• 通过构造群元素 w₁,…,wₗ 来编码二进制秘密序列 a₁⋯aₗ，使得 wᵢ =₁ 在 G 中当且仅当 aᵢ = 1。
• 要求每个 wᵢ 涉及大部分 m 条关系，以防止小规模联合体通过部分关系实现部分重建。
• 使 t 名参与者能够重建完整的群表示并求解字问题，从而恢复秘密，而少于 t 名参与者则无法做到。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种秘密共享方案，使得秘密在份额分发时无需预先确定？
• RQ2 如何利用群论性质——特别是有限表示群中的字问题——实现阈值为 t 的访问控制？
• RQ3 为确保仅当 t 名或以上参与者协作时才能重建秘密，群表示需满足的最小代数条件是什么？
• RQ4 如何使该方案对利用部分关系知识或已知消息模式的攻击具备鲁棒性？
• RQ5 哪些群类（如可解群、考克斯eter群）可作为合适的平台群，具备高效的字问题求解能力与强安全特性？

主要发现

• 该方案允许在份额分发后动态分配秘密，因为秘密仅在最终重建阶段才被使用。
• 任何少于 t 名参与者的联合体所获得的群表示均缺少至少一条关系，导致其对应群 G′ 与原群 G 不同，使得在 G 中 wᵢ =₁ 并不意味着在 G′ 中 wᵢ =₁。
• 要求表示单位元的字 wᵢ 涉及大部分关系，可防止攻击者仅凭部分关系就实现秘密重建。
• 可解群与考克斯eter群被识别为合适的平台群，因其具有可解字问题及丰富的代数结构。
• 采用换位子构造（如 ∏[r′ⱼ, wⱼ]）可进一步隐藏关系结构，阻碍基于商群的攻击。
• 该方案支持消息认证，可通过在二进制序列中嵌入预设签名，仅由 t 名参与者验证。