[论文解读] A service system with packing constraints: Greedy randomized algorithm achieving sublinear in scale optimality gap

Alexander Stolyar, Yuan Zhong|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 23被引用 4

一句话总结

该论文提出了 GRAND(Z^p) 算法，用于具有通用打包约束的服务系统中的动态客户打包，其中零服务器数量按 Z^p 规模缩放（p ∈ (1−1/(8κ), 1)）。该文证明了其渐近最优性，稳态最优性差距为 o(r)，在系统规模 r 上呈次线性，相较于先前的 GRAND(aZ) 变体，代表了一种更强形式的渐近最优性。

ABSTRACT

A service system with multiple types of arriving customers is considered. There is an infinite number of homogeneous servers. Multiple customers can be placed for simultaneous service into one server, subject to general packing constraints. Each new arriving customer is placed for service immediately, either into an occupied server, as long as packing constraints are not violated, or into an empty server. After service completion, each customer leaves its server and the system. The basic objective is to minimize the number of occupied servers in steady state. We study a Greedy-Random (GRAND) placement (packing) algorithm, introduced in [23]. This is a simple online algorithm, which places each arriving customer uniformly at random into either one of the already occupied servers that can still fit the customer, or one of the so-called zero-servers, which are empty servers designated to be available to new arrivals. In [23], a version of the algorithm, labeled GRAND($aZ$), was considered, where the number of zero servers is $aZ$, with $Z$ being the current total number of customers in the system, and $a>0$ being an algorithm parameter. GRAND($aZ$) was shown in [23] to be asymptotically optimal in the following sense: (a) the steady-state optimality gap grows linearly in the system scale $r$ (the mean total number of customers in service), i.e. as $c(a) r$ for some $c(a)> 0$; and (b) $c(a) o 0$ as $a o 0$. In this paper, we consider the GRAND($Z^p$) algorithm, in which the number of zero-servers is $Z^p$, where $p \in (1-1/(8κ),1)$ is an algorithm parameter, and $(κ-1)$ is the maximum possible number of customers that a server can fit. We prove the asymptotic optimality of GRAND($Z^p$) in the sense that the steady-state optimality gap is $o(r)$, sublinear in the system scale. This is a stronger form of asymptotic optimality than that of GRAND($aZ$).

研究动机与目标

• 设计一种简洁的在线算法，用于在一般单调打包约束下对客户进行动态打包。
• 最小化稳态下占用的服务器数量，这是云资源分配中的关键目标。
• 通过在系统规模 r 上实现次线性最优性差距，改进先前的 GRAND(aZ) 算法，且无需对零值参数进行调优。
• 建立强于先前结果的渐近最优性，其中即使当 a→0 时，最优性差距仍随 r 线性增长。
• 分析 GRAND(Z^p) 算法，其中零服务器数量按当前负载 Z^p 的次线性幂次缩放，且 p 接近 1。

提出的方法

• 提出 GRAND(Z^p)，一种贪心-随机的在线算法，将每个到达的客户均匀随机分配至一个已占用的服务器（若打包约束允许），或分配至 Z^p 个指定的零服务器之一。
• 结合流极限分析与精细化的随机耦合及人工过程构造，以控制李雅普诺夫函数 L(x) 的漂移。
• 采用时间离散化方案，子区间长度为 r^{−3s+3+ε}，其中 s > 3/4 且 ε 较小，以分析样本路径行为。
• 应用博雷尔-坎泰利引理，表明以高概率，原始过程与一个在违反约束时动态冻结的人工过程在大 r 下一致。
• 使用李雅普诺夫函数 L(x)，其在紧集上一致收敛于 ∑ₖ xₖ，从而通过偏差界控制最优性差距。
• 证明 L(x) 的漂移确保系统状态收敛至最优值的 o(r) 范围内，从而证明了次线性最优性差距。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个简单的在线算法能否在具有通用打包约束的动态打包系统中实现次线性最优性差距？
• RQ2 GRAND(Z^p) 在 p ∈ (1−1/(8κ), 1) 时是否通过消除对 a→0 的依赖，实现了强于 GRAND(aZ) 的渐近最优性？
• RQ3 GRAND(Z^p) 的最优性差距是否严格为 o(r)，即其在系统规模 r 上的增长速度慢于线性？
• RQ4 GRAND(Z^p) 的分析能否推广至 p ∈ (0,1)，还是 p 接近 1 的限制在技术上是必要的？
• RQ5 原始过程与人工过程之间的耦合如何在零服务器数量次线性缩放下，支持收敛性证明？

主要发现

• GRAND(Z^p) 算法实现了 o(r) 的稳态最优性差距，意味着该差距在系统规模 r 上的增长速度慢于线性。
• 这一子线性差距是强于 GRAND(aZ) 所实现的渐近最优性形式，后者具有随 a→0 而消失的线性差距 c(a)r。
• 证明依赖于结合时间离散化与原始过程和人工过程之间耦合论证的精细化流极限分析。
• 以高概率，对所有足够大的 r，系统状态收敛至最优值的 o(r) 范围内，从而确保了渐近最优性。
• 该结果在条件 p > 1−1/(8κ) 下成立，其中 κ−1 是每台服务器最多可容纳的客户数，且该条件可能为技术性而非根本性限制。
• 作者推测该结果可推广至所有 p ∈ (0,1)，但当前证明因技术原因要求 p 接近 1。