[论文解读] A seventeenth-order polylogarithm ladder

David H. Bailey, David Broadhurst|ArXiv.org|Jun 20, 1999

Advanced Combinatorial MathematicsMathematics参考文献 14被引用 18

一句话总结

本文利用从莱默多项式导出的最小已知萨拉姆数 α₁，构建了一个新颖的17阶多 polylogarithm 楼梯。通过在索引 k=630 处利用分圆关系，并应用 PSLQ 算法，作者发现了一个涉及125个常数的实验性整数关系——Li₁₇(α₁⁻ᵏ) 与 π²ʲ(log α₁)¹⁷⁻²ʲ——该关系已验证至超过59,000位小数，确认了17阶唯一楼梯的存在。

ABSTRACT

Cohen, Lewin and Zagier found four ladders that entail the polylogarithms ${ m Li}_n(α_1^{-k}):=\sum_{r>0}α_1^{-k r}/r^n$ at order $n=16$, with indices $k\le360$, and $α_1$ being the smallest known Salem number, i.e. the larger real root of Lehmer's celebrated polynomial $α^{10}+α^9-α^7-α^6-α^5-α^4-α^3+α+1$, with the smallest known non-trivial Mahler measure. By adjoining the index $k=630$, we generate a fifth ladder at order 16 and a ladder at order 17 that we presume to be unique. This empirical integer relation, between elements of $\{{ m Li}_{17}(α_1^{-k})\mid0\le k\le630\}$ and $\{π^{2j}(\logα_1)^{17-2j}\mid 0\le j\le8\}$, entails 125 constants, multiplied by integers with nearly 300 digits. It has been checked to more than 59,000 decimal digits. Among the ladders that we found in other number fields, the longest has order 13 and index 294. It is based on $α^{10}-α^6-α^5-α^4+1$, which gives the sole Salem number $α<1.3$ with degree $d<12$ for which $α^{1/2}+α^{-1/2}$ fails to be the largest eigenvalue of the adjacency matrix of a graph.

研究动机与目标

• 将已知的 polylogarithm 楼梯从16阶扩展至17阶，使用最小已知的萨拉姆数 α₁。
• 探究17阶楼梯是否存在，以反驳此前认为此类楼梯不会出现在奇数阶的推测。
• 基于 k=630 处的分圆恒等式，建立多 polylogarithmic 值与 π 和 log α₁ 的幂之间新的实验性整数关系。
• 探索分圆关系、萨拉姆数与数域中多 polylogarithm 楼梯结构之间的联系。
• 通过高精度算术与 PSLQ 算法验证所发现关系的数值稳定性与正确性。

提出的方法

• 作者为从莱默多项式导出的萨拉姆数 α₁ 在索引 k=630 处识别出一个分圆关系，该关系使17阶楼梯的构建成为可能。
• 他们应用 PSLQ 整数关系查找算法，以检测 Li₁₇(α₁⁻ᵏ) 与 π²ʲ(log α₁)¹⁷⁻²ʲ 的线性组合，其结果为 ζ(17) 的有理倍数。
• 该算法使用高精度算术（工作精度低于4,000位），将关系计算并验证至超过59,000位小数。
• 集合 D(S) 由特定集合 S 中的36个整数导出，包括630，这些整数是 S 中元素的因数，且产生非零的多 polylogarithmic 项。
• 关系中的系数为具有近300位十进制数字的整数，部分已因式分解，并验证其数值巧合概率低于 10⁻⁵⁵⁰⁰⁰。
• 该方法依赖于由莱默多项式定义的数域的自反性质以及分圆范数条件，以限制可能的索引。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管此前有推测认为奇数阶不会出现多 polylogarithm 楼梯，17阶楼梯是否存在？
• RQ2 能否利用萨拉姆数 α₁ 在索引 k=630 处的分圆关系，在多 polylogarithmic 空间中生成新楼梯？
• RQ3 Li₁₇(α₁⁻ᵏ) 与 π²ʲ(log α₁)¹⁷⁻²ʲ 的乘积之间整数关系的结构如何？涉及多少项？
• RQ4 所发现的关系在高精度验证下是否具有数值稳定性与鲁棒性？
• RQ5 索引集 D(S) 在生成最小且无冗余楼梯中的意义是什么？

主要发现

• 发现了17阶多 polylogarithm 楼梯，将已知的16阶楼梯扩展至17阶，且推测其为唯一。
• 该关系涉及125个非零整数系数，最大系数具有近300位十进制数字，关系已验证至超过59,000位小数。
• ζ(17) 的系数部分因式分解为 2⁷ × 3⁷ × 5⁴ × 7 × 11 × 13 × 17 × 722063 × 15121339 × 379780242109750106753 × 5724771750303829791195961 × C₂₁₇，其中 C₂₁₇ 为一个217位的合数。
• 该楼梯基于最小已知的萨拉姆数 α₁ ≈ 1.17628，即莱默多项式的较大实根，也是已知最小的非平凡马勒度量。
• 索引集 D(S) 包含115个正整数，全部为集合 S = {29, 47, 50, ..., 630} 中元素的因数，且包含 k=630 作为最大索引。
• 该关系中出现数值巧合的概率低于 10⁻⁵⁵⁰⁰⁰，以极高的置信度确认了实验结果。