[论文解读] A Simple Sample Size Formula for Estimating Means of Poisson Random Variables

Xinjia Chen|ArXiv.org|Apr 18, 2008

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文提出了一种严格的、非渐近的样本量公式，用于使用绝对误差和相对误差的混合准则来估计泊松分布的均值。通过利用切尔诺夫不等式和精确的尾部概率边界，推导出一个闭式样本量要求，确保估计值以高概率落在绝对误差或相对误差边界内，为基于正态近似的传统方法提供了一种更精确的替代方案。

ABSTRACT

In this paper, we derive an explicit sample size formula based a mixed criterion of absolute and relative errors for estimating means of Poisson random variables.

研究动机与目标

• 解决正态近似在确定泊松均值估计样本量时的局限性。
• 开发一种严格且精确的样本量确定方法，同时控制绝对误差和相对误差。
• 与传统渐近方法相比，降低样本量要求的保守性。
• 提供一个闭式公式，确保估计精度达到指定的置信水平。

提出的方法

• 基于混合误差准则推导样本量公式：估计值必须以超过 1−δ 的概率落在绝对误差 εₐ 或相对误差 εᵣλ 的范围内。
• 利用切尔诺夫不等式，推导独立同分布泊松随机变量样本均值的尾部概率的指数上界。
• 引入函数 g(ε,λ) = ε + (λ+ε)ln(λ/(λ+ε))，用于量化尾部衰减速率并分析误差概率。
• 利用 g(ε,λ) 的单调性特性，对不同 λ 范围内的最坏情况误差概率进行界定。
• 基于 λ 相对于 εₐ 和 εᵣ 的取值大小关系，采用分情况分析方法，推导出组合误差概率的统一上界。
• 建立闭式样本量阈值：n > (εᵣ/εₐ) × [ln(2/δ)] / [(1+εᵣ)ln(1+εᵣ) − εᵣ]，以确保所需的误差概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在绝对误差与相对误差的混合准则下，如何确定泊松均值估计的样本量？
• RQ2 为确保估计值以高概率落在绝对误差或相对误差边界内，所需的精确样本量是多少？
• RQ3 非渐近且严格的方法能否替代传统正态近似，用于泊松设定下的样本量确定？
• RQ4 与现有渐近方法相比，所提出的公式在保守性和准确性方面表现如何？

主要发现

• 所提出的样本量公式确保估计值偏离真实均值超过 εₐ 或 εᵣλ 的概率小于 δ。
• 该公式不依赖于正态近似，提供了更精确且更严谨的替代方案。
• 当 λ ≥ εₐ/εᵣ 时，该边界最为紧密，最坏情况出现在 λ = εₐ/εᵣ 处，此时所需样本量达到最大。
• 样本量要求明确表示为 n > (εᵣ/εₐ) × [ln(2/δ)] / [(1+εᵣ)ln(1+εᵣ) − εᵣ]，其仅依赖于 εₐ、εᵣ 和 δ。
• 该方法优于保守的正态近似，避免了对样本量的过度估计，尤其在 λ 较小时表现更优。
• 分析结果表明，误差概率在所有 λ > 0 范围内均被一致有界，确保了鲁棒性。