[论文解读] Exact Computation of Minimum Sample size for Estimation of Poisson Parameters

Xinjia Chen|ArXiv.org|Jul 14, 2007

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 6被引用 13

一句话总结

本文提出了一种精确方法，用于计算在给定置信水平下，以规定的绝对误差或相对误差估计泊松参数所需的最小样本量。通过证明最小覆盖概率出现在有限个临界点上，该方法实现了通过有限次评估的精确计算，克服了先前方法中在无限参数范围内搜索的不可行性。

ABSTRACT

In this paper, we develop an approach for the exact determination of the minimum sample size for the estimation of a Poisson parameter with prescribed margin of error and confidence level. The exact computation is made possible by reducing infinite many evaluations of coverage probability to finite many evaluations. Such reduction is based on our discovery that the minimum of coverage probability with respect to a Poisson parameter bounded in an interval is attained at a discrete set of finite many values.

研究动机与目标

• 确定估计泊松参数在指定误差范围和置信水平下所需的精确最小样本量。
• 解决在泊松参数的无限区间上评估覆盖概率的计算不可行性。
• 为绝对误差、相对误差和混合误差准则开发一种有限且计算上可行的样本量确定方法。
• 提供理论保证，即最小覆盖概率出现在区间 [a,b] 内离散且有限的参数值上。
• 为科学和工程实践中的实际应用实现精确的、非渐近的样本量计算。

提出的方法

• 通过证明最小覆盖概率在离散值处取得，该方法将对 λ ∈ [a,b] 的无限覆盖概率评估减少为有限个临界点的评估。
• 对于绝对误差控制，临界点为 {a, b} ∪ {ℓ/n ± ε ∈ (a,b) : ℓ ∈ ℤ}，其大小小于 2n(b−a)+4。
• 对于相对误差控制，临界点为 {a, b} ∪ {ℓ/(n(1+ε)) ∈ (a,b) : ℓ ∈ ℤ} ∪ {ℓ/(n(1−ε)) ∈ (a,b) : ℓ ∈ ℤ}，其大小同样有界。
• 使用泊松累积分布函数 S(n,k,l,λ) = Σᵢ₌ₖˡ (λⁱe⁻ⁱ)/i! 在这些有限集合上计算覆盖概率。
• 通过从 n=2 开始逐步测试，直到在所有临界点处的覆盖概率均超过 1−δ，从而找到最小样本量 n。
• 通过结合绝对误差和相对误差条件，并识别相应的临界参数集合，将该方法扩展到混合误差准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定绝对误差范围和指定置信水平下，估计泊松参数所需的精确最小样本量是多少？
• RQ2 如何在连续区间 [a,b] 上最小化泊松参数的覆盖概率，且该最小值出现在何处？
• RQ3 能否将对 λ ∈ [a,b] 的覆盖概率的无限评估减少为有限次评估，以实现精确的样本量确定？
• RQ4 在相对误差约束下，导致最小覆盖概率的临界参数点的结构是什么？
• RQ5 在样本量计算中，如何精确处理混合误差准则——即同时结合绝对误差和相对误差界限？

主要发现

• 对于绝对误差，最小覆盖概率在至多 2n(b−a)+4 个点的有限集合上取得，从而实现精确计算。
• 对于相对误差，最小覆盖概率出现在大小小于 2n(b−a)+4 的有限集合上，具体为 {a,b} 和 (a,b) 内的点 ℓ/(n(1±ε))。
• 覆盖概率函数是左连续的，并在临界点之间的区间内呈现分段常数特性，因此仅需在端点处进行评估。
• 该方法通过在这些有限临界点检查覆盖概率，确保了精确的样本量确定，避免了保守的渐近近似。
• 该方法在计算上是可行且可扩展的，因为临界点的数量随 n 和区间长度 (b−a) 线性增长。
• 理论基础由严格证明支持，表明在 [a,b] 上的最小覆盖概率在离散且可识别的参数值处取得。