[论文解读] A SIS reaction-diffusion-advection model in a low-risk and high-risk domain

Jing Ge, Kwang Ik Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文提出了一种具有自由边界的时空SIS反应-扩散-对流模型，用于研究在具有低风险和高风险区域的异质环境中疾病传播。该研究引入了时变的基本再生数 $ R_0^F(t) $，并表明疾病的持续存在取决于初始条件、扩展能力以及对流作用：若区域为高风险，疾病将持续传播直至普遍感染；若为低风险，则根除或持续传播取决于初始感染规模和扩展速度。

ABSTRACT

A simplified SIS reaction-diffusion-advection model is proposed and investigated to understand the impact of spatial heterogeneity of environment and advection on the persistence and eradication of an infectious disease. The free boundary is introduced to model the contact transmission at the spreading front of the disease. The behavior of positive solutions to a reaction-diffusion-advection system are discussed. The basic reproduction number $R_0^F(t)$ associated with the diseases in the spatial setting is introduced for this diffusive SIS model with the free boundary, we prove that fast diffusion, small expanding rate and small initial infected domain are benefit for the control of the spatial spread of the disease. Sufficient conditions for the disease to be eradicated or to spread are also given, our result shows that the disease will spread to the whole area if there exists a $t_0\geq 0$ such that $R_{0}^F(t_0)\geq 1$, that is, if the spreading domain is high-risk at some time, the disease will continue to spread till the whole area is infected; while if $R_{0}^F(0)<1$, the disease may be vanishing or keep spreading depends on the expanding rate and the initial number of the infective individuals. The spreading speeds are also given when spreading happens, and numerical simulations are also given to illustrate the impacts of the advection and the expanding rate on the spreading fronts.

研究动机与目标

• 理解空间异质性与对流如何影响空间结构化环境中疾病的持续存在或根除。
• 利用随时间演化的边界 $ g(t) $ 和 $ h(t) $ 的自由边界问题，对传染病传播前沿进行建模。
• 定义并分析一个捕捉变化域上疾病传播动态的时变基本再生数 $ R_0^F(t) $。
• 研究对流与扩展能力在决定传播速度和最终疾病结局中的作用。
• 基于初始条件与模型参数，提供疾病根除或地方性流行的充分条件。

提出的方法

• 构建一个SIS型疾病传播的反应-扩散-对流系统，其中传播率（$ \beta(x) $）与恢复率（$ \gamma(x) $）具有空间异质性。
• 引入一个自由边界问题，疾病在区域 $ (g(t), h(t)) $ 上传播，其中 $ g(t) $ 与 $ h(t) $ 按照Stefan型条件演化。
• 定义两个关键的基本再生数：具有狄利克雷边界条件的系统的基本再生数 $ R_0^{DA} $，以及自由边界系统的 $ R_0^F(t) $，二者均基于变分原理推导得出。
• 应用比较原理与渐近分析，研究解的长期行为与传播动力学。
• 采用隐式有限差分格式与牛顿-拉夫森法求解演化域上的非线性系统，进行数值模拟。
• 通过渐近估计分析传播速度，表明 $ \lim_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} \leq k_r^* $，其中 $ k_r^* $ 依赖于对流参数与扩散参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始区域为低风险时，疾病在何种条件下会传播或消失？
• RQ2 对流如何影响传播前沿在左右方向上的不对称性与传播速度？
• RQ3 在给定初始条件与扩展能力的情况下，什么因素决定疾病是否成为地方性流行或被根除？
• RQ4 时变基本再生数 $ R_0^F(t) $ 如何调控传播与消失之间的转变？
• RQ5 疾病前沿的渐近传播速度是多少？它们如何依赖于对流与扩散速率？

主要发现

• 若存在某个 $ t_0 \geq 0 $ 使得 $ R_0^F(t_0) \geq 1 $，则疾病将长期持续传播，最终感染整个区域。
• 若 $ R_0^F(0) < 1 $，当初始感染人群足够小时，或当扩展能力 $ \mu $ 较小时，疾病将消失。
• 当传播区域为高风险时（即在某点满足 $ \beta(x) > \gamma(x) $），疾病将持续传播直至整个区域被感染。
• 传播速度满足 $ \lim_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} \leq k_r^* $，其中 $ k_r^* $ 依赖于对流 $ \alpha $、扩散 $ d_I $ 与反应速率。
• 数值模拟证实，较大的 $ \mu $ 导致快速传播与稳定的正平衡态，而较小的 $ \mu $ 导致缓慢扩张与疾病衰减。
• 对流引起非对称传播：正的 $ \alpha $ 加速右侧边界，负的 $ \alpha $ 加速左侧边界，形成不同的传播模式。