[论文解读] A Slow-Growing Sequence Defined by an Unusual Recurrence

Fokko J. van de Bult, Dion Gijswijt+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2006

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了一个递归定义的整数序列，其中每一项均为前一序列的卷曲数（curling number）——即后缀中最大重复次数。尽管该序列增长缓慢，但已被证明是无界的，更高整数仅在天文数字级的索引处出现。关键结果是通过启发式估计得出：整数 $ t $ 首次出现在约 $ 2^{2^{3^{4^{𝕃^{(t-1)}}}}} $ 的位置，即高度为 $ t-1 $ 的幂塔。

ABSTRACT

The sequence starts with a(1) = 1; to extend it one writes the sequence so far as XY^k, where X and Y are strings of integers, Y is nonempty and k is as large as possible: then the next term is k. The sequence begins 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, ... A 4 appears for the first time at position 220, but a 5 does not appear until about position 10^{10^{23}}. The main result of the paper is a proof that the sequence is unbounded. We also present results from extensive numerical investigations of the sequence and of certain derived sequences, culminating with a heuristic argument that t (for t=5,6, ...) appears for the first time at about position 2^(2^(3^(4^(5^...^({(t-2)}^{(t-1)}))))), where ^ denotes exponentiation. The final section discusses generalizations.

研究动机与目标

• 激发对一种基于字符串重复的非传统递推关系定义的新整数序列的研究动机。
• 解决该序列是否保持有界或最终包含任意大整数的开放性问题。
• 提供严谨证明，表明该序列虽增长极慢，但仍是无界的。
• 为新整数首次出现在序列中的位置提供启发式估计。
• 探索使用不同函数、初始条件及整数字符串等价关系的递推关系的推广形式。

提出的方法

• 该序列通过递归定义：$ a(1) = 1 $，且 $ a(n+1) $ 为前缀 $ a(1), \ldots, a(n) $ 的卷曲数，其中卷曲数定义为最大 $ k $，使得序列以某个非空字符串 $ Y $ 的 $ k $ 次重复结尾。
• 利用导出序列 $ A^{(k)} $ 分析序列的递归块结构，这些序列用于追踪序列中重复模式的结构。
• 通过对前两百万项进行大量数值计算，经验性地估计序列及其导出序列的增长与结构。
• 基于观察到的重复块的频率与长度，建立启发式模型，以估计整数 $ t $ 首次出现的位置。
• 通过修改应用于卷曲数的函数（如 $ f(x) = \lfloor x/2 \rfloor $）或改变初始条件，推广递推关系。
• 通过在字符串上使用等价关系（如置换等价）或偏序关系，探索更广泛的推广形式，以定义替代的递推规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 由反复追加当前前缀卷曲数所定义的序列的渐近行为是什么？
• RQ2 该序列最终是否包含任意大的整数，还是保持有界？
• RQ3 对于 $ t \geq 5 $，整数 $ t $ 在序列中首次出现的位置是哪里？
• RQ4 该序列的递归块结构如何演化？是否可形式化证明？
• RQ5 在不同递推规则或子串上的等价关系下，该序列的推广形式具有哪些性质？

主要发现

• 该序列已被证明是无界的，即每个正整数 $ t $ 最终都会作为序列中的一项出现。
• 数字 4 首次出现在第 220 位，而数字 5 仅在约 $ 2^{2^{3^{4^{\cdots^{22}}}}} $ 处首次出现，即高度为 22 的幂塔。
• 对前两百万项的经验分析支持一种启发式估计：$ t $ 首次出现在位置大致等于高度为 $ t-1 $ 的幂塔，即 $ 2^{2^{3^{4^{\cdots^{(t-1)}}}}} $。
• 该序列表现出递归块结构，重复模式在多个层级上形成，这解释了其缓慢增长以及更高卷曲数的出现机制。
• 对递推关系的推广，如对卷曲数应用函数或使用置换等价，可生成具有类似缓慢增长与无界性质的新序列。
• 定义了二维与贪心变体序列：二维版本在行与列上保持原始序列；贪心变体在每一步尽可能最大化卷曲数。