[论文解读] A small variation of the Taylor Method and periodic solutions of the 3-body problem

Óscar Perdomo|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2015

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文提出了一种改进的泰勒方法，可在无需精确解的情况下追踪全局误差和舍入误差，从而在动力系统中实现严格的数值证明。该方法被应用于严格证明三体问题中质量为100、100和200的新型周期解的存在性，周期T ≈ 96.241，通过验证的数值积分和区间算术得到确认。

ABSTRACT

In this paper we define a small variation of the Taylor method and a formula for the global error of this new numerical method that allows us to keep track of the round-off error and does not require previous knowledge of the exact solution. As an application we provide a rigorous proof of the construction/existence of a periodic solution of the three body problem. Some images of this periodic motion can be seen at https://www.youtube.com/watch?v=fSmQyeKcj5k

研究动机与目标

• 开发一种在动力系统中求解常微分方程的数值稳定且严格的方法，尤其适用于精确解未知的情形。
• 解决在长时数值积分中，特别是在三体问题等混沌系统中，舍入误差的追踪挑战。
• 为三体问题中一个新周期解的存在性提供验证的数值证明，基于数值观测但尚未被证明的解。
• 使计算机代数系统能够用于高精度数值积分，同时避免因符号有理数算术导致的计算成本指数增长。
• 证明通过数值观测得到的周期解可借助新的误差界公式严格证明其周期性。

提出的方法

• 提出泰勒方法的一种微小变体，每一步通过数学运算计算高精度近似值，并将结果限定在宽度为H的有理数区间内。
• 使用区间算术将每次迭代的结果限定在用户定义宽度H的有理数区间内，从而在不使用符号精确算术的情况下实现误差控制。
• 一个关键的理论贡献是定理2.3，它在不依赖解界先验知识的前提下，以步长h和舍入容差H的形式给出了全局误差界。
• 该方法利用计算机代数系统对有理数和平方根表达式计算紧致边界的能力，实现高精度区间算术。
• 该方法结合泰勒级数积分与验证性数值方法，使用区间包围来追踪截断误差和舍入误差。
• 通过在受控误差界下对三体问题的运动方程进行积分，将方法应用于三体问题，验证在时间T时的状态可返回至初始状态的极小区间内。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种改进的泰勒方法，以严格追踪全局误差和舍入误差，而无需精确解？
• RQ2 该方法能否用于验证三体问题中数值观测到的周期解在数学上确实为周期解？
• RQ3 在混沌系统中实现周期性严格数值验证的最小计算成本是多少？
• RQ4 如何有效结合区间算术与泰勒级数积分，以保持精度且避免表达式大小的指数增长？
• RQ5 是否可能仅通过带误差界约束的数值积分来证明三体问题中周期解的存在性？

主要发现

• 严格证明了三体问题中存在一种新周期解，质量为100、100和200，周期T ≈ 96.241。
• 该解在数值上显示在经过一个周期后返回至初始条件的10^-14范围内，该结果通过新方法被验证为精确。
• 该方法成功地仅使用h（步长）和H（舍入容差）来界定全局误差，而无需事先知道解的边界。
• 该方法避免了传统符号有理数算术中常见的表达式大小指数增长，使长时间积分成为可能。
• 该方法通过将中间结果限定在可控宽度的有理数区间内，使标准计算机代数系统可用于验证性积分。
• 该证明确认了图1.1中数值观测到的解确实为周期解，标志着在天体力学中验证数值解方面迈出了重要一步。