[论文解读] A space-time Trefftz discontinuous Galerkin method for the linear Schr\"odinger equation

Sergio Gómez, Andrea Moiola|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于具有分段常数势的线性薛定谔方程的时空Trefftz不连续伽辽金（DG）方法，采用满足方程局部解的非多项式复指数基函数。该方法在1D和2D问题中实现了骨架范数下的最优h-收敛率，与多项式DG方法相比显著减少了自由度，同时保持了稳定性和适定性。

ABSTRACT

A space-time Trefftz discontinuous Galerkin method for the Schr\"odinger equation with piecewise-constant potential is proposed and analyzed. Following the spirit of Trefftz methods, trial and test spaces are spanned by non-polynomial complex wave functions that satisfy the Schro\"odinger equation locally on each element of the space-time mesh. This allows for a significant reduction in the number of degrees of freedom in comparison with full polynomial spaces. We prove well-posedness and stability of the method, and, for the one- and two- dimensional cases, optimal, high-order, h-convergence error estimates in a skeleton norm. Some numerical experiments validate the theoretical results presented.

研究动机与目标

• 开发一种新颖的时空Trefftz-DG方法，用于具有分段常数势的时间依赖线性薛定谔方程。
• 通过使用满足方程局部解的非多项式基函数，减少自由度。
• 在1D和2D中建立该方法的适定性、稳定性和最优h-收敛误差估计。
• 通过具有方阱势和高斯势问题的数值实验验证理论结果。
• 探索通过基函数参数调优实现p-收敛性及效率提升的潜力。

提出的方法

• 该方法采用与势能不连续性对齐的多边形时空网格，使用不连续伽辽金弱形式，时间方向采用迎风数值通量，空间方向采用中心通量。
• 试函数和测试函数由局部满足薛定谔方程的复指数函数构成，形成一个Trefftz空间。
• 离散Trefftz空间的设计使其能够再现精确解的泰勒多项式至p次，从而保证最优逼近性质。
• 采用骨架范数进行误差分析，通过Trefftz函数的结构避免了对逆估计的需求。
• 数值通量通过平均值和跳跃定义，并引入复数惩罚项以保证稳定性和一致性。
• 分析依赖于一个关键条件，将离散Trefftz空间与精确解泰勒多项式的局部逼近联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 时空Trefftz-DG方法能否在具有分段常数势的线性薛定谔方程中实现最优h-收敛？
• RQ2 与标准多项式DG方法相比，使用非多项式Trefftz基函数如何减少自由度？
• RQ3 离散Trefftz空间需满足何种条件，才能实现对精确解的最优局部逼近？
• RQ4 该方法能否实现p-收敛率？其效率与多项式DG格式相比如何？
• RQ5 精度对基函数参数（如波数和方向）的选择有多敏感？

主要发现

• 如定理4.12所证明，在1D和2D问题中，该方法在网格骨架范数下实现了最优h-收敛率，收敛阶为hp。
• 在(1+1)维方阱问题中，该方法的收敛率分别为：p=1时约为2.07，p=2时为4.09，p=3时为6.49，证实了最优h-收敛。
• 在(2+1)维高斯问题中，该方法在DG范数下实现O(h^p)的收敛率，在最终时刻的L2范数下实现O(h^{p+1})的收敛率，与理论预测一致。
• p-收敛分析显示误差以O(e^{-b\sqrt{\#DOF}})的速率衰减，显著快于多项式DG方法典型的O(e^{-b\sqrt[3]{\#DOF}})衰减速率。
• 数值实验表明，将基函数波数调至{−k*, 0, k*}可恢复最优收敛率，而参数选择不当则导致次优性能。
• 该方法具有适定性和稳定性，误差界不依赖于逆估计，这是相对于标准DG格式的关键优势。