[论文解读] A sparse ADMM-based solver for linear MPC subject to terminal quadratic constraint

Pablo Krupa, Rim Jaouani+2 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2021

Advanced Control Systems Optimization参考文献 46被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于稀疏ADMM的求解器，用于具有终端椭球约束的线性模型预测控制（MPC），以替代传统的多面体不变集，从而减少约束数量并提高计算效率。该求解器专为嵌入式系统设计，实现了低内存占用且无需外部库依赖，并在多变量系统仿真中展示了实时性能。

ABSTRACT

Model Predictive Control (MPC) typically includes a terminal constraint to guarantee stability of the closed-loop system under nominal conditions. In linear MPC this constraint is generally taken on a polyhedral set, leading to a quadratic optimization problem. However, the use of an ellipsoidal terminal constraint may be desirable, leading to an optimization problem with a quadratic constraint. In this case, the optimization problem can be solved using Second Order Cone (SOC) programming solvers, since the quadratic constraint can be posed as a SOC constraint, at the expense of adding additional slack variables and possibly compromising the simple structure of the solver ingredients. In this paper we present a sparse solver for linear MPC subject to a terminal ellipsoidal constraint based on the alternating direction method of multipliers algorithm in which we directly deal with the quadratic constraints without having to resort to the use of a SOC constraint nor the inclusion of additional decision variables. The solver is suitable for its use in embedded systems, since it is sparse, has a small memory footprint and requires no external libraries. We compare its performance against other approaches from the literature.

研究动机与目标

• 用椭球集替代线性MPC中的多面体终端不变集，以减少约束数量并简化计算。
• 为由椭球终端约束产生的具有二次约束的二次规划（QCQP）开发一种专用的、适合嵌入式环境的求解器。
• 确保极低的内存占用并无需外部库依赖，以支持实时嵌入式控制系统中的部署。
• 在模拟的多变量系统上，通过嵌入式实现验证该求解器相对于其他方法的性能。

提出的方法

• 将具有由椭球 $\mathcal{E}(P,c,r)$ 定义的终端状态约束的线性MPC问题进行公式化，替代标准的多面体不变集。
• 应用交替方向乘子法（ADMM）以高效求解由此产生的稀疏、结构化的QCQP。
• 通过ADMM子问题中的块对角结构利用问题的稀疏性，以最小化内存和计算开销。
• 使用舒尔补和S-过程推导线性矩阵不等式（LMI）条件，以计算椭球终端集。
• 在基于C语言的嵌入式环境中实现求解器，仅使用原生数据结构且不依赖外部库。
• 在ADMM中采用变量分裂和对偶上升策略，将优化问题分解为每个预测步长的可处理子问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 用椭球约束替代多面体终端约束是否能显著减少线性MPC中的约束数量，同时保持系统稳定性？
• RQ2 当终端约束为二次而非多面体时，基于ADMM的求解器是否仍适用于嵌入式MPC？
• RQ3 稀疏、低内存的ADMM实现是否能在无外部库依赖的情况下，实现在多变量系统上的实时性能？
• RQ4 与标准QP求解器相比，所提出的求解器在计算时间和内存使用方面表现如何？

主要发现

• 所提出的基于ADMM的求解器在具有20步预测时域的模拟多变量系统上实现了实时性能。
• 与多面体集相比，椭球终端约束显著减少了约束数量，尤其适用于具有大量状态和输入约束的系统。
• 该求解器内存占用极低，且无需外部库即可运行，非常适合嵌入式部署。
• 实现结果在多个测试案例中表现出一致的收敛性和稳定性，计算时间适合实时控制。
• 基于LMI的椭球不变集计算方法对中等规模系统有效且具备可扩展性。