[论文解读] A specialisation of the Bump-Friedberg $L$-function

Nadir Matringe|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了沿直线 $(s + \alpha, 2s)$ 的 Bump-Friedberg $L$-函数的一参数特化，建立了其亚纯性质，并将极点与扭曲全局周期的存在性联系起来。对于偶数 $k = \dim \pi$，证明了 $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ 在 $s = 1/2$ 处有极点当且仅当 $\pi$ 允许一个 $\chi$-周期，从而为 Jacquet 与 Friedberg 关于 $L$-函数非零性的结果提供了新证明。

ABSTRACT

We study the restriction of the Bump-Friedberg integrals to affine lines $\{(s+α,2s),s\in\C\}$. It has a simple theory, very close to that of the Asai $L$-function. It is an integral representation of the product $L(s+α,π)L(2s,Λ^2,π)$ which we denote by $L^{lin}(s,π,α)$ for this abstract, when $π$ is a cuspidal automorphic representation of $GL(k,A)$ for $A$ the adeles of a number field. When $k$ is even, we show that for a cuspidal automorphic representation $π$, the partial $L$-function $L^{lin,S}(s,π,α)$ has a pole at 1/2, if and only if $π$ admits a (twisted) global period, this gives a more direct proof of a theorem of Jacquet and Friedberg, asserting that $π$ has a twisted global period if and only if $L(α+1/2,π) eq 0$ and $L(1,Λ^2,π)=\infty$. When $k$ is odd, the partial $L$-function is holmorphic in a neighbourhood of $Re(s)\geq 1/2$ when $Re(α)$ is $\geq 0$.

研究动机与目标

• 分析 Bump-Friedberg $L$-函数在仿射直线 $\{(s+\alpha, 2s) \mid s \in \mathbb{C}\}$ 上的限制，将其视为单复变量的函数。
• 在局部与全局情形下，为乘积 $L(s+\alpha,\pi)L(2s,\Lambda^2,\pi)$ 建立 Rankin-Selberg 积分表示，记为 $L^{\text{lin}}(s,\pi,\alpha)$。
• 以 $\pi$ 的扭曲全局周期的存在性来刻画部分 $L$-函数 $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ 的极点。
• 为 Jacquet-Friedberg 定理提供一种新且直接的证明，该定理将 $L(\alpha+1/2,\pi)$ 与 $L(1,\Lambda^2,\pi)$ 的非零性与扭曲全局周期的存在性联系起来。

提出的方法

• 使用涉及 $GL(m) \times GL(m)$ 上的尖形式 $\phi$、施瓦茨函数 $\Phi$ 与特征 $\chi$ 的 Rankin-Selberg 积分，限制在镜像子群上。
• 应用逐次部分傅里叶展开（命题 4.3），将全局积分 $I(s,\phi,\Phi)$ 与 Whittaker 函数联系起来，从而实现欧拉因子分解。
• 通过镜像子群与诱导数据 $f_{\chi,\Phi}(s,h)$ 构造一个 Eisenstein 系列 $E(s,h,\chi,\Phi)$，其在 $\operatorname{Re}(s) > 1/2$ 时绝对收敛。
• 导出函数方程 $E(1/2 - s, {}^t h^{-1}, \chi^{-1}\delta^{1/2}, \widehat{\Phi}) = E(s,h,\chi,\Phi)$，这对分析解析性质至关重要。
• 依赖于非阿代尔与阿代尔情形下局部积分的非零性结果，以确立 $L$-函数的结构。
• 利用函数方程与残留在零（通过 [BF] 的命题 2.1）证明 $I(s,\phi,\chi,\Phi)$ 是整函数，从而推出在奇数情形下 $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ 的全纯性。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时部分 $L$-函数 $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ 在 $s = 1/2$ 处有极点？
• RQ2 对 $\pi$ 的扭曲全局周期的存在性与 $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ 的解析行为之间有何关系？
• RQ3 $\alpha$ 参数在 Bump-Friedberg $L$-函数特化中的作用是什么？
• RQ4 Rankin-Selberg 积分表示 $L(s+\alpha,\pi)L(2s,\Lambda^2,\pi)$ 是否可用于重新证明 Jacquet-Friedberg 定理？
• RQ5 受限 $L$-函数的理论与 Asai $L$-函数的理论相比如何？

主要发现

• 当 $k = \dim \pi$ 为偶数时，部分 $L$-函数 $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ 在 $s = 1/2$ 处有极点当且仅当 $\pi$ 允许一个扭曲全局周期。
• 当 $k$ 为奇数且 $\operatorname{Re}(\alpha) \geq 0$ 时，部分 $L$-函数 $L^{\text{lin},S}(s,\pi,\alpha)$ 在 $\operatorname{Re}(s) \geq 1/2$ 的邻域内全纯。
• 全局积分 $I(s,\phi,\chi,\Phi)$ 是整函数，其函数方程为 $I(1/2 - s, \tilde{\phi}, \chi^{-1}\delta^{1/2}, \widehat{\Phi}) = I(s,\phi,\chi,\Phi)$。
• $I(s,\phi,\chi,\Phi)$ 在 $s = 1/2$ 处的留数为零，这是由于周期积分的消失，从而在奇数情形下不存在极点。
• 局部 $L$-函数 $L^{\text{lin}}(s,\pi,\alpha)$ 通过非阿代尔与阿代尔积分定义，当 $\operatorname{Re}(s)$ 足够大时，其收敛性与非零性已确立。
• 本文为 Jacquet-Friedberg 定理提供了新证明：$\pi$ 具有扭曲全局周期当且仅当 $L(\alpha + 1/2, \pi) \neq 0$ 且 $L(1, \Lambda^2, \pi) = \infty$。