[论文解读] A spinorial analogue of Aubin's inequality

Bernd Ammann, Jean-François Grosjean+2 more|ArXiv.org|Aug 12, 2003

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文为维度 $ n ≥ 2 $ 的紧致黎曼自旋流形建立了 Aubin 不等式的一个旋量类比，证明了狄拉克算子的第一正特征值的下确界，经体积的 $ 1/n $ 次幂归一化后，其上界为 $ \frac{n}{2} \omega_n^{1/n} $，且在标准球面上取等。证明通过将 $ S^n $ 上的基灵旋量经立体投影拉回到 $ \mathbb{R}^n $ 构造测试旋量，并使用对数截断函数处理 $ n=2 $ 的临界情形，此时狄拉克算子的核非平凡。

ABSTRACT

Let $(M,g,\si)$ be a compact Riemannian spin manifold of dimension $\geq 2$. For any metric $ ilde g$ conformal to $g$, we denote by $ ildeλ$ the first positive eigenvalue of the Dirac operator on $(M, ilde g,\si)$. We show that $$\inf_{ ilde{g} \in [g]} ildeλ\Vol(M, ilde g)^{1/n} \leq (n/2) \Vol(S^n)^{1/n}.$$ This inequality is a spinorial analogue of Aubin's inequality, an important inequality in the solution of the Yamabe problem. The inequality is already known in the case $n \geq 3$ and in the case $n = 2$, $\ker D=\{0\}$. Our proof also works in the remaining case $n=2$, $\ker D eq \{0\}$. With the same method we also prove that any conformal class on a Riemann surface contains a metric with $2 ildeλ^2\leq ildeμ$, where $ ildeμ$ denotes the first positive eigenvalue of the Laplace operator.

研究动机与目标

• 建立自旋共形不变量 $ \lambda_{\rm min}^{+}(M,g,\sigma) $ 的精确上界，其定义为所有与 $ g $ 共形的度量 $ \tilde{g} $ 上 $ \lambda_1^+(\tilde{g}) \cdot {\rm Vol}(M,\tilde{g})^{1/n} $ 的下确界。
• 解决此前方法（包括 Große 基于不变量的方法）未能处理的维度 $ n=2 $ 且狄拉克算子核非平凡的开放问题。
• 提供一种统一的证明方法，适用于所有维度 $ n \geq 2 $，包括此前存在困难的 $ n=2 $、$ \ker D \neq \{0\} $ 情形。
• 将该方法推广，推导出黎曼曲面上狄拉克算子与拉普拉斯算子第一正特征值之间的一个新不等式。

提出的方法

• 通过立体投影将 $ S^n $ 上的基灵旋量拉回到 $ \mathbb{R}^n $，构造一个测试旋量，得到满足 $ D\psi = c|\psi|^{2/(n-1)}\psi $ 的解。
• 利用对数截断函数 $ \eta $ 对该旋量进行尺度变换与截断，该函数在环形区域上从 1 缓慢衰减至 0，从而最小化狄拉克范数中梯度项的贡献。
• 通过 Bourguignon-Gauduchon 旋量丛的平凡化方法，将截断后的旋量移植到 $ M $ 上某点 $ p \in M $ 的邻域，该方法简化了狄拉克算子的泰勒展开。
• 在 $ \varepsilon \to 0 $ 的极限下，利用渐近展开估计 $ L^2 $-范数 $ \|D\psi\|_{L^2} $ 与内积 $ \int \langle D\psi, \psi \rangle $，其中 $ \varepsilon $ 控制支撑集的大小。
• 利用变分刻画 $ \lambda_{\rm min}^{+}(M,g,\sigma) = \inf_\psi J(\psi) $，其中 $ J(\psi) = \left( \int |D\psi|^{2n/(n+1)} \right)^{(n+1)/n} / \int \langle D\psi, \psi \rangle $，以界定共形不变量。
• 对于 $ n=2 $，通过采用对数截断函数调整方法，控制梯度的 $ L^2 $-范数，克服了此前方法在该维度上的失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度 $ n \geq 2 $ 的紧致自旋流形上，自旋共形不变量 $ \lambda_{\rm min}^{+}(M,g,\sigma) $ 的精确上界是什么？
• RQ2 当狄拉克算子的核非平凡时，能否证明 $ n=2 $ 情形下旋量类比的 Aubin 不等式？此前该情形尚未解决。
• RQ3 用于 $ n \geq 3 $ 的方法是否可推广至 $ n=2 $，特别是在狄拉克算子核非平凡时？
• RQ4 在共形变换下，黎曼曲面上狄拉克算子与拉普拉斯算子的第一正特征值之间是否存在关系？
• RQ5 能否通过变分原理，利用 $ S^n $ 上基灵旋量构造的测试旋量来界定共形不变量？

主要发现

• 对所有维度 $ n \geq 2 $ 的紧致自旋流形，不等式 $ \lambda_{\rm min}^{+}(M,g,\sigma) \leq \frac{n}{2} \omega_n^{1/n} $ 成立，且当 $ (M,g,\sigma) = (S^n, g_{\text{std}}, \sigma_{\text{std}}) $ 时取等。
• 该证明解决了长期悬而未决的 $ n=2 $、$ \ker D \neq \{0\} $ 情形，此前方法因截断函数贡献过大而失效。
• 对于 $ n=2 $，该方法导出不等式 $ \inf_{\bar{g} \in [g]} \frac{\lambda_1^+(\bar{g})^2}{\mu_1(\bar{g})} \leq \frac{1}{2} $，其中 $ \mu_1 $ 为拉普拉斯算子的第一正特征值。
• 渐近分析表明，截断函数梯度对狄拉克范数的贡献在 $ \delta \to 0 $ 时趋于零，从而使得该界为精确。
• 构造的测试旋量满足 $ \int |D\psi|^2 \to 8\pi $ 且 $ \int \langle D\psi, \psi \rangle \to 4\pi\varepsilon $，极限下导出最终不等式 $ \lambda_{\rm min}^{+}(M,g,\sigma)^2 \cdot {\rm Vol}(M) \leq 4\pi + o(1) $。
• 结果确认标准球面达到该上界，且该方法在所有维度（包括 $ n=2 $）下具有一致性。