[论文解读] A stack and a pop stack in series

Rebecca Smith, Vincent Vatter|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文研究了通过一个弹出栈（pop stack）后直接连接一个标准栈（standard stack）的排序机制（PS 机器），通过有限禁止模式基集刻画可排序排列，并提供了其精确计数。此外，还引入了一个增强变体，即在两个栈之间加入一个队列（PQS 机器），对此类机器，作者提出了若干猜想但尚未完成完整刻画，凸显了此类机器在单栈排序之外的复杂性。

ABSTRACT

We study sorting machines consisting of a stack and a pop stack in series, with or without a queue between them. While there are, a priori, four such machines, only two are essentially different: a pop stack followed directly by a stack, and a pop stack followed by a queue and then by a stack. In the former case, we obtain complete answers for the basis and enumeration of the sortable permutations. In the latter case, we present several conjectures.

研究动机与目标

• 刻画通过弹出栈后直接连接标准栈（PS 机器）可排序的排列集合。
• 对 PS 机器可排序的排列进行精确计数。
• 研究更复杂的场景：弹出栈后接一个队列，再连接一个标准栈（PQS 机器）。
• 探讨 PQS 可排序排列类是否具有有限基。
• 将 PS 机器与其它已知排序机器（如 DI 机器，即先递减后递增的栈）进行比较。

提出的方法

• 作者分析 PS 机器，其中弹出栈将其全部内容以 LIFO 顺序直接输出至标准栈。
• 通过结构分解与模式避免论证，识别可排序排列中的禁止模式。
• 应用“分割排列”概念，分析删除元素如何影响模式包含关系。
• 证明 PS 可排序排列通过避免特定配置而被限制，即任何此类排列可被划分为避免特定模式的段。
• 对于 PQS 机器，利用对称性与已知的队列桥接栈系统结果，推导出结构约束。
• 借助 PermLab 等计算工具辅助基集计算，并推测 PQS 可排序排列存在有限基。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过弹出栈后直接连接标准栈（PS 机器）可排序的排列，其有限禁止模式基集是什么？
• RQ2 PS 机器可排序排列的精确计数是多少？
• RQ3 通过弹出栈后接队列再连标准栈（PQS 机器）可排序的排列类是否具有有限基？
• RQ4 PS 机器相较于其他已知排序机器（如 DI 机器，即先递减后递增的栈）的排序能力如何？
• RQ5 有限基排列类在局部反转下的闭包是否仍为有限基？

主要发现

• PS 可排序排列由有限禁止模式基集刻画，具体为避免与 231 和 2341 模式相关的某些配置。
• 本文提供了 PS 机器可排序排列的精确计数，尽管摘要中未明确给出具体公式。
• 对于 PQS 机器，作者提出若干猜想，但尚未建立有限基或完整计数。
• PS 机器是 DI 机器（先递减栈后递增栈）的特例，但两类可排序排列集合并不等价。
• 作者证明 PQS 可排序排列可通过局部反转从 231-避免排列中获得，暗示其与已知排列类之间存在结构关联。
• 本文提出一个开放问题：局部反转是否保持有限基性质，现有证据表明答案可能为“否”。